---

Step * 2 of Lemma derivative-implies-strictly-decreasing


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] < r0)
8. -(f[x]) strictly-increasing for x ∈ I
⊢ f[x] strictly-decreasing for x ∈ I
BY
{ (UnfoldTopAb (-1) THEN UnfoldTopAb 0 THEN RepeatFor 3 (ParallelLast)) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] < r0)
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ (-(f[x]) < -(f[y])))
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. ∀y:{x:ℝ| x ∈ I} . ((x < y) ⇒ (-(f[x]) < -(f[y])))
11. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
12. x < y
13. -(f[x]) < -(f[y])
⊢ f[y] < f[x]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (f'[x]  <  r0)
8.  -(f[x])  strictly-increasing  for  x  \mmember{}  I
\mvdash{}  f[x]  strictly-decreasing  for  x  \mmember{}  I


By

---

Latex:
(UnfoldTopAb  (-1)  THEN  UnfoldTopAb  0  THEN  RepeatFor  3  (ParallelLast))

---

Home Index