---

Step * 2 1 of Lemma derivative-implies-strictly-decreasing


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] < r0)
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ (-(f[x]) < -(f[y])))
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. ∀y:{x:ℝ| x ∈ I} . ((x < y) ⇒ (-(f[x]) < -(f[y])))
11. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
12. x < y
13. -(f[x]) < -(f[y])
⊢ f[y] < f[x]
BY
{ (nRAdd ⌜f[y] + f[x]⌝ (-1)⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (f'[x]  <  r0)
8.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  (-(f[x])  <  -(f[y])))
9.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  \mforall{}y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  (-(f[x])  <  -(f[y])))
11.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
12.  x  <  y
13.  -(f[x])  <  -(f[y])
\mvdash{}  f[y]  <  f[x]


By

---

Latex:
(nRAdd  \mkleeneopen{}f[y]  +  f[x]\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index