---

Step * of Lemma derivative-implies-strictly-increasing-closed

∀a:ℝ. ∀b:{b:ℝ| a < b} . ∀f,f':[a, b] ⟶ℝ.
  (d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
  ⇒ ifun(λx.f'[x];[a, b])
  ⇒ (∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (r0 ≤ f'[x]))
  ⇒ (∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (r0 < f'[x]))
  ⇒ f[x] strictly-increasing for x ∈ [a, b])
BY
{ (RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (InstLemma `derivative-implies-increasing` [⌜[a, b]⌝]⋅ THENA (Auto THEN RepUR ``iproper`` 0 THEN Auto))
   THEN RepeatFor 3 ((ParallelLast' THENA Auto))
   THEN (D 0 THENA (Auto THEN D 2 THEN Unhide THEN Auto))
   THEN (Assert f'[x] continuous for x ∈ [a, b] BY
               (BLemma `function-is-continuous` THEN Auto THEN (D 0 THEN Reduce 0) THEN Auto))
   THEN ThinTrivial
   THEN (ParallelLast' THENA Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f' : [a, b] ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
6. ifun(λx.f'[x];[a, b])
7. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (r0 ≤ f'[x])
9. f[x] increasing for x ∈ [a, b]
⊢ (∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (r0 < f'[x])) ⇒ f[x] strictly-increasing for x ∈ [a, b]

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}a:\mBbbR{}.  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  a  <  b\}  .  \mforall{}f,f':[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
    (d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [a,  b]
    {}\mRightarrow{}  ifun(\mlambda{}x.f'[x];[a,  b])
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (r0  \mleq{}  f'[x]))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a,  b)\}  .  (r0  <  f'[x]))
    {}\mRightarrow{}  f[x]  strictly-increasing  for  x  \mmember{}  [a,  b])


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (InstLemma  `derivative-implies-increasing`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  RepUR  ``iproper``  0  THEN  Auto)
              )
  THEN  RepeatFor  3  ((ParallelLast'  THENA  Auto))
  THEN  (D  0  THENA  (Auto  THEN  D  2  THEN  Unhide  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]  BY
                          (BLemma  `function-is-continuous`  THEN  Auto  THEN  (D  0  THEN  Reduce  0)  THEN  Auto))
  THEN  ThinTrivial
  THEN  (ParallelLast'  THENA  Auto))

---

Home Index