---

Step * 1 of Lemma derivative-implies-strictly-increasing-closed


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f' : [a, b] ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
6. ifun(λx.f'[x];[a, b])
7. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (r0 ≤ f'[x])
9. f[x] increasing for x ∈ [a, b]
⊢ (∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (r0 < f'[x])) ⇒ f[x] strictly-increasing for x ∈ [a, b]
BY
{ ((Assert (a, b) ⊆ [a, b]  BY
          (D 0 THEN Reduce 0 THEN Auto))
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN (InstLemma `derivative-implies-strictly-increasing` [⌜(a, b)⌝;⌜f⌝;⌜f'⌝]⋅
         THENA (Auto THEN RepUR ``iproper left-endpoint right-endpoint endpoints`` 0 THEN Auto)
         )) }

1
.....antecedent..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f' : [a, b] ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
6. ifun(λx.f'[x];[a, b])
7. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (r0 ≤ f'[x])
9. f[x] increasing for x ∈ [a, b]
10. (a, b) ⊆ [a, b] 
11. ∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (r0 < f'[x])
⊢ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (a, b)

2
.....antecedent..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f' : [a, b] ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
6. ifun(λx.f'[x];[a, b])
7. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (r0 ≤ f'[x])
9. f[x] increasing for x ∈ [a, b]
10. (a, b) ⊆ [a, b] 
11. ∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (r0 < f'[x])
⊢ f'[x] continuous for x ∈ (a, b)

3
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f' : [a, b] ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
6. ifun(λx.f'[x];[a, b])
7. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (r0 ≤ f'[x])
9. f[x] increasing for x ∈ [a, b]
10. (a, b) ⊆ [a, b] 
11. ∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (r0 < f'[x])
12. f[x] strictly-increasing for x ∈ (a, b)
⊢ f[x] strictly-increasing for x ∈ [a, b]

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [a,  b]
6.  ifun(\mlambda{}x.f'[x];[a,  b])
7.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (r0  \mleq{}  f'[x])
9.  f[x]  increasing  for  x  \mmember{}  [a,  b]
\mvdash{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a,  b)\}  .  (r0  <  f'[x]))  {}\mRightarrow{}  f[x]  strictly-increasing  for  x  \mmember{}  [a,  b]


By

---

Latex:
((Assert  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b]    BY
                (D  0  THEN  Reduce  0  THEN  Auto))
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `derivative-implies-strictly-increasing`  [\mkleeneopen{}(a,  b)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f'\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  RepUR  ``iproper  left-endpoint  right-endpoint  endpoints``  0  THEN  Auto)
              ))

---

Home Index