---

Step * 1 1 of Lemma derivative-implies-strictly-increasing-closed

.....antecedent..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f' : [a, b] ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
6. ifun(λx.f'[x];[a, b])
7. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (r0 ≤ f'[x])
9. f[x] increasing for x ∈ [a, b]
10. (a, b) ⊆ [a, b] 
11. ∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (r0 < f'[x])
⊢ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (a, b)
BY
{ ((InstLemma `derivative_functionality_wrt_subinterval` [⌜[a, b]⌝]⋅ THENM BHyp -1 ) THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [a,  b]
6.  ifun(\mlambda{}x.f'[x];[a,  b])
7.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (r0  \mleq{}  f'[x])
9.  f[x]  increasing  for  x  \mmember{}  [a,  b]
10.  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b] 
11.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a,  b)\}  .  (r0  <  f'[x])
\mvdash{}  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  (a,  b)


By

---

Latex:
((InstLemma  `derivative\_functionality\_wrt\_subinterval`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENM  BHyp  -1  )  THEN  Auto)

---

Home Index