---

Step * 2 1 2 2 of Lemma derivative-rpolynomial


1. n : ℤ
2. n ≠ 0
3. [%1] : 0 < n
4. ∀a:ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀I:Interval.
     d((Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.if (n - 1 =z 0)
     then r0
     else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i)
     fi  on I
5. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
6. I : Interval
7. d(((a n) * x^n) + (Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.(r(n) * (a n) * x^n - 1)
+ if (n - 1 =z 0) then r0 else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i) fi  on I
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
⊢ ((r(n) * (a n) * x^n - 1) + if (n - 1 =z 0) then r0 else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i) fi )
= (Σi≤n - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i)
BY
{ ((RW (AddrC [2] (LemmaC `rpolynomial_unroll`)) 0 THEN Auto)⋅ THEN Reduce 0 THEN AutoSplit) }

1
1. n : ℤ
2. n ≠ 0
3. 0 < n
4. ∀a:ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀I:Interval.
     d((Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.if (n - 1 =z 0)
     then r0
     else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i)
     fi  on I
5. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
6. I : Interval
7. d(((a n) * x^n) + (Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.(r(n) * (a n) * x^n - 1)
+ if (n - 1 =z 0) then r0 else (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i) fi  on I
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. (n - 1) = 0 ∈ ℤ
⊢ ((r(n) * (a n) * x^n - 1) + r0) = (r1 * (a 1))

2
1. n : ℤ
2. n - 1 ≠ 0
3. n ≠ 0
4. 0 < n
5. ∀a:ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ. ∀I:Interval.
     d((Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.(Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i) on I
6. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
7. I : Interval
8. d(((a n) * x^n) + (Σi≤n - 1. a_i * x^i))/dx = λx.(r(n) * (a n) * x^n - 1)
+ (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i) on I
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
⊢ ((r(n) * (a n) * x^n - 1) + (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i))
= (((r((n - 1) + 1) * (a ((n - 1) + 1))) * x^n - 1) + (Σi≤n - 1 - 1. λi.(r(i + 1) * (a (i + 1)))_i * x^i))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbZ{}
2.  n  \mneq{}  0
3.  [\%1]  :  0  <  n
4.  \mforall{}a:\mBbbN{}(n  -  1)  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  \mforall{}I:Interval.
          d((\mSigma{}i\mleq{}n  -  1.  a\_i  *  x\^{}i))/dx  =  \mlambda{}x.if  (n  -  1  =\msubz{}  0)
          then  r0
          else  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1  -  1.  \mlambda{}i.(r(i  +  1)  *  (a  (i  +  1)))\_i  *  x\^{}i)
          fi    on  I
5.  a  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
6.  I  :  Interval
7.  d(((a  n)  *  x\^{}n)  +  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1.  a\_i  *  x\^{}i))/dx  =  \mlambda{}x.(r(n)  *  (a  n)  *  x\^{}n  -  1)
+  if  (n  -  1  =\msubz{}  0)  then  r0  else  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1  -  1.  \mlambda{}i.(r(i  +  1)  *  (a  (i  +  1)))\_i  *  x\^{}i)  fi    on  I
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
\mvdash{}  ((r(n)  *  (a  n)  *  x\^{}n  -  1)
+  if  (n  -  1  =\msubz{}  0)  then  r0  else  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1  -  1.  \mlambda{}i.(r(i  +  1)  *  (a  (i  +  1)))\_i  *  x\^{}i)  fi  )
=  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1.  \mlambda{}i.(r(i  +  1)  *  (a  (i  +  1)))\_i  *  x\^{}i)


By

---

Latex:
((RW  (AddrC  [2]  (LemmaC  `rpolynomial\_unroll`))  0  THEN  Auto)\mcdot{}  THEN  Reduce  0  THEN  AutoSplit)

---

Home Index