---

Step * 1 1 of Lemma dyadic-rationals-dense


1. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
2. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
3. a < b
4. k : ℕ+
5. (r1/r(k)) < (b - a/r(2))
6. (r1/r(2^k)) < (r1/r(k))
7. |ravg(a;b) - (ravg(a;b) within 1/2^k)| ≤ (r1/r(2^k))
⊢ ∃x:ℝ. (((a < x) ∧ (x < b)) ∧ (∃n:ℤ. ∃m:ℕ+. (x = (r(n)/r(2^m)))))
BY
{ (D 0 With ⌜(ravg(a;b) within 1/2^k)⌝  THENA Auto) }

1
1. a : {a:ℝ| a ∈ (-∞, ∞)} 
2. b : {r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} 
3. a < b
4. k : ℕ+
5. (r1/r(k)) < (b - a/r(2))
6. (r1/r(2^k)) < (r1/r(k))
7. |ravg(a;b) - (ravg(a;b) within 1/2^k)| ≤ (r1/r(2^k))
⊢ ((a < (ravg(a;b) within 1/2^k)) ∧ ((ravg(a;b) within 1/2^k) < b))
∧ (∃n:ℤ. ∃m:ℕ+. ((ravg(a;b) within 1/2^k) = (r(n)/r(2^m))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
2.  b  :  \{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
3.  a  <  b
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k))  <  (b  -  a/r(2))
6.  (r1/r(2\^{}k))  <  (r1/r(k))
7.  |ravg(a;b)  -  (ravg(a;b)  within  1/2\^{}k)|  \mleq{}  (r1/r(2\^{}k))
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}.  (((a  <  x)  \mwedge{}  (x  <  b))  \mwedge{}  (\mexists{}n:\mBbbZ{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  (x  =  (r(n)/r(2\^{}m)))))


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}(ravg(a;b)  within  1/2\^{}k)\mkleeneclose{}    THENA  Auto)

---

Home Index