---

Step * of Lemma equal-functions-by-Taylor

∀F,G:ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ.
  ((∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
  ⇒ (∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (G[k;x] = G[k;y])))
  ⇒ infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
  ⇒ infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.G[i;x])
  ⇒ (∀m:ℕ. ∃c:ℝ. ∃N:ℕ. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c))
  ⇒ (∀m:ℕ. ∃c:ℝ. ∃N:ℕ. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|G[k;x]| ≤ c))
  ⇒ (∀n:ℕ. (F[n;r0] = G[n;r0]))
  ⇒ (∀x:ℝ. (F[0;x] = G[0;x])))
BY
{ (Auto
   THEN (FLemma `Taylor-series-bounded-converges-everywhere` [5] THENA Auto)
   THEN (FLemma `Taylor-series-bounded-converges-everywhere` [6] THENA Auto)) }

1
1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. G : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
3. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
4. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (G[k;x] = G[k;y]))
5. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
6. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.G[i;x])
7. ∀m:ℕ. ∃c:ℝ. ∃N:ℕ. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
8. ∀m:ℕ. ∃c:ℝ. ∃N:ℕ. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|G[k;x]| ≤ c)
9. ∀n:ℕ. (F[n;r0] = G[n;r0])
10. x : ℝ
11. lim k→∞.Σ{(F[i;r0]/r((i)!)) * x^i | 0≤i≤k} = λx.F[0;x] for x ∈ (-∞, ∞)
12. lim k→∞.Σ{(G[i;r0]/r((i)!)) * x^i | 0≤i≤k} = λx.G[0;x] for x ∈ (-∞, ∞)
⊢ F[0;x] = G[0;x]

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}F,G:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
    ((\mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y])))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (G[k;x]  =  G[k;y])))
    {}\mRightarrow{}  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.F[i;x])
    {}\mRightarrow{}  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.G[i;x])
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  \mexists{}c:\mBbbR{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}k:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|F[k;x]|  \mleq{}  c))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  \mexists{}c:\mBbbR{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}k:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|G[k;x]|  \mleq{}  c))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (F[n;r0]  =  G[n;r0]))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (F[0;x]  =  G[0;x])))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (FLemma  `Taylor-series-bounded-converges-everywhere`  [5]  THENA  Auto)
  THEN  (FLemma  `Taylor-series-bounded-converges-everywhere`  [6]  THENA  Auto))

---

Home Index