---

Step * 1 1 1 1 of Lemma extensional-discrete-real-fun-is-constant


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  ⟶ ℤ
4. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y) ∈ ℤ))
5. x : ℝ
6. a ≤ x
7. x ≤ b
8. y : ℝ
9. a ≤ y
10. y ≤ b
11. d : {d:ℝ| r0 < d} 
12. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|r(f x) - r(f y)| ≤ (r1/r(2))))
13. x1 : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
14. ∀y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} . ((|x1 - y| ≤ d) ⇒ (|r(f x1) - r(f y)| ≤ (r1/r(2))))
15. y1 : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
16. |x1 - y1| ≤ d
17. |r(f x1) - r(f y1)| ≤ (r1/r(2))
⊢ (f x1) = (f y1) ∈ ℤ
BY
{ (Assert ⌜((f x1) - f y1) = 0 ∈ ℤ⌝⋅ THENM Auto) }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  ⟶ ℤ
4. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y) ∈ ℤ))
5. x : ℝ
6. a ≤ x
7. x ≤ b
8. y : ℝ
9. a ≤ y
10. y ≤ b
11. d : {d:ℝ| r0 < d} 
12. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|r(f x) - r(f y)| ≤ (r1/r(2))))
13. x1 : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
14. ∀y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} . ((|x1 - y| ≤ d) ⇒ (|r(f x1) - r(f y)| ≤ (r1/r(2))))
15. y1 : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
16. |x1 - y1| ≤ d
17. |r(f x1) - r(f y1)| ≤ (r1/r(2))
⊢ ((f x1) - f y1) = 0 ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
5.  x  :  \mBbbR{}
6.  a  \mleq{}  x
7.  x  \mleq{}  b
8.  y  :  \mBbbR{}
9.  a  \mleq{}  y
10.  y  \mleq{}  b
11.  d  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
12.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|r(f  x)  -  r(f  y)|  \mleq{}  (r1/r(2))))
13.  x1  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\} 
14.  \mforall{}y:\{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}  .  ((|x1  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|r(f  x1)  -  r(f  y)|  \mleq{}  (r1/r(2))))
15.  y1  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\} 
16.  |x1  -  y1|  \mleq{}  d
17.  |r(f  x1)  -  r(f  y1)|  \mleq{}  (r1/r(2))
\mvdash{}  (f  x1)  =  (f  y1)


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}((f  x1)  -  f  y1)  =  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENM  Auto)

---

Home Index