---

Step * 1 1 1 of Lemma fun-comparison-test


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|f[n;x]| ≤ g[n;x])
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. k : ℕ+
7. N : ℕ+
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (∀m:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} .  (Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k)))))
BY
{ (Auto THEN (InstHyp [⌜x⌝;⌜n⌝] 8⋅ THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|f[n;x]| ≤ g[n;x])
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. k : ℕ+
7. N : ℕ+
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
9. n : ℕ
10. N ≤ n
11. m : ℕ
12. x : {x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} 
13. ∀m:{N...}. (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
⊢ Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|f[n;x]|  \mleq{}  g[n;x])
5.  a  :  \{a:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;a))\} 
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  \mforall{}n,m:\{N...\}.    (|\mSigma{}\{g[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  \mSigma{}\{g[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}|  \mleq{}  (r1/r(k)))
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .    (\mSigma{}\{g[i;x]  |  n  +  1\mleq{}i\mleq{}m\}  \mleq{}  (r1/r(k)))))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]  8\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index