---

Step * 1 2 1 of Lemma fun-comparison-test


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|f[n;x]| ≤ g[n;x])
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
7. ∀k:ℕ+. ∀large(n).∀m:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} .  (Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k)))
8. k : ℕ+
9. N : ℕ
10. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (∀m:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} .  (Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k)))))
11. x : {x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} 
12. n : {N + 1...}
13. m : {N + 1...}
⊢ |Σ{f[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{f[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k))
BY
{ (DVar `x'
   THEN (Unhide THENA Auto)
   THEN ∀h:hyp. (FLemma `i-member-approx` [h] THEN Auto) 
   THEN (Decide ⌜n ≤ m⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|f[n;x]| ≤ g[n;x])
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
7. ∀k:ℕ+. ∀large(n).∀m:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} .  (Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k)))
8. k : ℕ+
9. N : ℕ
10. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (∀m:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} .  (Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k)))))
11. x : ℝ
12. x ∈ i-approx(I;a)
13. n : {N + 1...}
14. m : {N + 1...}
15. x ∈ I
16. n ≤ m
⊢ |Σ{f[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{f[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k))

2
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|f[n;x]| ≤ g[n;x])
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
7. ∀k:ℕ+. ∀large(n).∀m:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} .  (Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k)))
8. k : ℕ+
9. N : ℕ
10. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (∀m:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} .  (Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k)))))
11. x : ℝ
12. x ∈ i-approx(I;a)
13. n : {N + 1...}
14. m : {N + 1...}
15. x ∈ I
16. ¬(n ≤ m)
⊢ |Σ{f[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{f[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|f[n;x]|  \mleq{}  g[n;x])
5.  a  :  \{a:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;a))\} 
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}
          \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
            \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  \mforall{}n,m:\{N...\}.
                (|\mSigma{}\{g[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  \mSigma{}\{g[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}|  \mleq{}  (r1/r(k)))
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}large(n).\mforall{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .    (\mSigma{}\{g[i;x]  |  n  +  1\mleq{}i\mleq{}m\}  \mleq{}  (r1/r(k)))
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  N  :  \mBbbN{}
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .    (\mSigma{}\{g[i;x]  |  n  +  1\mleq{}i\mleq{}m\}  \mleq{}  (r1/r(k)))))
11.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\} 
12.  n  :  \{N  +  1...\}
13.  m  :  \{N  +  1...\}
\mvdash{}  |\mSigma{}\{f[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  \mSigma{}\{f[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
(DVar  `x'
  THEN  (Unhide  THENA  Auto)
  THEN  \mforall{}h:hyp.  (FLemma  `i-member-approx`  [h]  THEN  Auto) 
  THEN  (Decide  \mkleeneopen{}n  \mleq{}  m\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index