---

Step * 2 1 1 1 1 of Lemma fun-converges-iff-cauchy


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ∃y:ℝ. lim n→∞.f[n;x] = y
4. g : x:{x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . lim n→∞.f[n;x] = g x
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. k : ℕ+
8. N : ℕ+
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(2 * k)))
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - g x| ≤ (r1/r(k)))
BY
{ (With ⌜N⌝ (D 0)⋅ THEN Auto THEN ∀h:hyp. (FLemma `i-member-approx` [h] THEN Auto) ) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ∃y:ℝ. lim n→∞.f[n;x] = y
4. g : x:{x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . lim n→∞.f[n;x] = g x
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. k : ℕ+
8. N : ℕ+
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(2 * k)))
10. x : {x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} 
11. n : {N...}
⊢ |f[n;x] - g x| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  \mexists{}y:\mBbbR{}.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f[n;x]  =  y
4.  g  :  x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f[n;x]  =  g  x
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n,m:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  f[m;x]|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k)))
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  g  x|  \mleq{}  (r1/r(k)))


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}N\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  \mforall{}h:hyp.  (FLemma  `i-member-approx`  [h]  THEN  Auto)  )

---

Home Index