---

Step * 2 of Lemma fun-converges-to-pointwise


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. lim n→∞.f[n;x] = λy.g[y] for x ∈ I
5. x : ℝ
6. x ∈ I
7. ∃m:ℕ+. (icompact(i-approx(I;m)) ∧ (x ∈ i-approx(I;m)))
⊢ lim n→∞.f[n;x] = g[x]
BY
{ (ExRepD THEN (D 4 With ⌜m⌝  THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. x : ℝ
5. x ∈ I
6. m : ℕ+
7. icompact(i-approx(I;m))
8. x ∈ i-approx(I;m)
9. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - g[x]| ≤ (r1/r(k)))
⊢ lim n→∞.f[n;x] = g[x]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f[n;x]  =  \mlambda{}y.g[y]  for  x  \mmember{}  I
5.  x  :  \mBbbR{}
6.  x  \mmember{}  I
7.  \mexists{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  (icompact(i-approx(I;m))  \mwedge{}  (x  \mmember{}  i-approx(I;m)))
\mvdash{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f[n;x]  =  g[x]


By

---

Latex:
(ExRepD  THEN  (D  4  With  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}    THENA  Auto))

---

Home Index