---

Step * 2 1 1 of Lemma fun-ratio-test-everywhere


1. f : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f[n;x] = f[n;y]))
3. ∀m:ℕ+. ∃c:ℝ. ((r0 ≤ c) ∧ (c < r1) ∧ (∃N:ℕ. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|f[n + 1;x]| ≤ (c * |f[n;x]|))))
4. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx((-∞, ∞);m))} 
5. c : ℝ
6. r0 ≤ c
7. c < r1
8. ∃N:ℕ. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|f[n + 1;x]| ≤ (c * |f[n;x]|))
9. r0 ≤ c
10. c < r1
⊢ ∃N:ℕ. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx((-∞, ∞);m)} .  (|f[n + 1;x]| ≤ (c * |f[n;x]|))
BY
{ (RepeatFor 2 (ParallelOp -3)
   THEN ParallelLast
   THEN D -1
   THEN RepUR ``i-approx`` -1
   THEN MemTypeCD
   THEN Auto
   THEN RWO  "rabs-rleq-iff" 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[n;x]  =  f[n;y]))
3.  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}
          \mexists{}c:\mBbbR{}
            ((r0  \mleq{}  c)
            \mwedge{}  (c  <  r1)
            \mwedge{}  (\mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}n:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|f[n  +  1;x]|  \mleq{}  (c  *  |f[n;x]|))))
4.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx((-\minfty{},  \minfty{});m))\} 
5.  c  :  \mBbbR{}
6.  r0  \mleq{}  c
7.  c  <  r1
8.  \mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}n:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|f[n  +  1;x]|  \mleq{}  (c  *  |f[n;x]|))
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}n:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx((-\minfty{},  \minfty{});m)\}  .    (|f[n  +  1;x]|  \mleq{}  (c  *  |f[n;x]|))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (ParallelOp  -3)
  THEN  ParallelLast
  THEN  D  -1
  THEN  RepUR  ``i-approx``  -1
  THEN  MemTypeCD
  THEN  Auto
  THEN  RWO    "rabs-rleq-iff"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index