---

Step * 2 1 of Lemma int-rdiv-int-rmul


1. k : ℤ-o
2. ¬k < 0
3. a : ℕ+ ⟶ ℤ
4. regular-seq(a)
5. n : ℕ+
6. 0 < k
7. 2 ≤ k
⊢ |(a (k * n)) - a (k * n) rem k - k * (a n)| ≤ (|k| * 4)
BY
{ ((Mul ⌜n⌝ (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN (D 4 With ⌜k * n⌝  THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜n⌝  THENA Auto)
   THEN (Mul ⌜|n|⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "absval_mul<" 0 THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(a (k * n) rem k) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} ⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. k : ℤ-o
2. ¬k < 0
3. a : ℕ+ ⟶ ℤ
4. n : ℕ+
5. 0 < k
6. 2 ≤ k
7. (n * 2) ≤ (n * k)
8. |(n * (a (k * n))) - (k * n) * (a n)| ≤ ((2 * 1) * ((k * n) + n))
9. r : {r:ℤ| |r| < |k|} 
10. (a (k * n) rem k) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
⊢ |n * ((a (k * n)) - r - k * (a n))| ≤ (|n| * |k| * 4)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbZ{}\msupminus{}\msupzero{}
2.  \mneg{}k  <  0
3.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  regular-seq(a)
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  0  <  k
7.  2  \mleq{}  k
\mvdash{}  |(a  (k  *  n))  -  a  (k  *  n)  rem  k  -  k  *  (a  n)|  \mleq{}  (|k|  *  4)


By

---

Latex:
((Mul  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  4  With  \mkleeneopen{}k  *  n\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (Mul  \mkleeneopen{}|n|\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "absval\_mul<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(a  (k  *  n)  rem  k)  =  r\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index