---

Step * 2 1 1 1 1 of Lemma int-rdiv_wf


1. k : ℤ-o
2. a : ℕ+ ⟶ ℤ
3. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (a n)) - n * (a m)| ≤ ((2 * 1) * (n + m)))
4. n : ℕ+
5. m : ℕ+
6. ¬(|k| ≤ 1)
7. r1 : ℤ
8. |r1| < |k|
9. (a n rem k) = r1 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
10. r2 : ℤ
11. |r2| < |k|
12. (a m rem k) = r2 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
13. ∀[a,b:ℤ].  (|a + b| ≤ (|a| + |b|))
14. |m| * |r1| < |m| * |k|
15. |n| * |r2| < |n| * |k|
⊢ (((2 * 1) * (n + m)) + (|n| * |r2|) + (|m| * |r1|)) ≤ (|k| * 2 * (n + m))
BY
{ ((RWO "-1 -2" 0 THENA Auto) THEN (GenConcl ⌜|k| = N ∈ {2...}⌝⋅ THENA Auto) THEN (RWO "absval_pos" 0 THENA Auto)) }

1
1. k : ℤ-o
2. a : ℕ+ ⟶ ℤ
3. ∀n,m:ℕ+.  (|(m * (a n)) - n * (a m)| ≤ ((2 * 1) * (n + m)))
4. n : ℕ+
5. m : ℕ+
6. ¬(|k| ≤ 1)
7. r1 : ℤ
8. |r1| < |k|
9. (a n rem k) = r1 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
10. r2 : ℤ
11. |r2| < |k|
12. (a m rem k) = r2 ∈ {r:ℤ| |r| < |k|} 
13. ∀[a,b:ℤ].  (|a + b| ≤ (|a| + |b|))
14. |m| * |r1| < |m| * |k|
15. |n| * |r2| < |n| * |k|
16. N : {2...}
17. |k| = N ∈ {2...}
⊢ (((2 * 1) * (n + m)) + (n * N) + (m * N)) ≤ (N * 2 * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbZ{}\msupminus{}\msupzero{}
2.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(m  *  (a  n))  -  n  *  (a  m)|  \mleq{}  ((2  *  1)  *  (n  +  m)))
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  \mneg{}(|k|  \mleq{}  1)
7.  r1  :  \mBbbZ{}
8.  |r1|  <  |k|
9.  (a  n  rem  k)  =  r1
10.  r2  :  \mBbbZ{}
11.  |r2|  <  |k|
12.  (a  m  rem  k)  =  r2
13.  \mforall{}[a,b:\mBbbZ{}].    (|a  +  b|  \mleq{}  (|a|  +  |b|))
14.  |m|  *  |r1|  <  |m|  *  |k|
15.  |n|  *  |r2|  <  |n|  *  |k|
\mvdash{}  (((2  *  1)  *  (n  +  m))  +  (|n|  *  |r2|)  +  (|m|  *  |r1|))  \mleq{}  (|k|  *  2  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
((RWO  "-1  -2"  0  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}|k|  =  N\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "absval\_pos"  0  THENA  Auto))

---

Home Index