---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma intermediate-value-theorem


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f[x] continuous for x ∈ I
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. f(a) < f(b)
7. y : {y:ℝ| y ∈ [f(a), f(b)]} 
8. e : {e:ℝ| r0 < e} 
9. a < b
10. icompact([a, b])
11. [a, b] ⊆ I 
12. mc : |f[x] - y| continuous for x ∈ [a, b]
13. r0 < inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]}
14. n : ℕ+
15. (a ∈ i-approx(I;n)) ∧ (b ∈ i-approx(I;n))
16. [a, b] ⊆ i-approx(I;n) 
17. k : ℕ+
18. (r1/r(k)) < inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]}
19. d : ℝ
20. (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k)))))
⊢ False
BY
{ ((InstLemma `partition-exists` [⌜[a, b]⌝; ⌜d⌝])⋅
   THEN Auto
   THEN D -1
   THEN (InstLemma `adjacent-full-partition-points` [⌜[a, b]⌝;⌜p⌝]⋅ THENA Auto)⋅)⋅ }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f[x] continuous for x ∈ I
4. a : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. b : {x:ℝ| x ∈ I} 
6. f(a) < f(b)
7. y : {y:ℝ| y ∈ [f(a), f(b)]} 
8. e : {e:ℝ| r0 < e} 
9. a < b
10. icompact([a, b])
11. [a, b] ⊆ I 
12. mc : |f[x] - y| continuous for x ∈ [a, b]
13. r0 < inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]}
14. n : ℕ+
15. a ∈ i-approx(I;n)
16. b ∈ i-approx(I;n)
17. [a, b] ⊆ i-approx(I;n) 
18. k : ℕ+
19. (r1/r(k)) < inf{|f[x] - y||x ∈ [a, b]}
20. d : ℝ
21. r0 < d
22. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))
23. p : partition([a, b])
24. partition-mesh([a, b];p) ≤ d
25. ∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)|| - 1
      r0≤full-partition([a, b];p)[i + 1] - full-partition([a, b];p)[i]≤partition-mesh([a, b];p)
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
4.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
5.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
6.  f(a)  <  f(b)
7.  y  :  \{y:\mBbbR{}|  y  \mmember{}  [f(a),  f(b)]\} 
8.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
9.  a  <  b
10.  icompact([a,  b])
11.  [a,  b]  \msubseteq{}  I 
12.  mc  :  |f[x]  -  y|  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
13.  r0  <  inf\{|f[x]  -  y||x  \mmember{}  [a,  b]\}
14.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  (a  \mmember{}  i-approx(I;n))  \mwedge{}  (b  \mmember{}  i-approx(I;n))
16.  [a,  b]  \msubseteq{}  i-approx(I;n) 
17.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  (r1/r(k))  <  inf\{|f[x]  -  y||x  \mmember{}  [a,  b]\}
19.  d  :  \mBbbR{}
20.  (r0  <  d)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(k)))))
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
((InstLemma  `partition-exists`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}])\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  D  -1
  THEN  (InstLemma  `adjacent-full-partition-points`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index