---

Step * 2 1 1 1 2 of Lemma interval-totally-bounded


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. k : ℕ+
6. (b - a/r(k)) < e
7. λx.(x ∈ [a, b]) ∈ Set(ℝ)
8. r0 < (b - a)
9. ∀i:ℕk + 1. (((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ λx.((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)))
10. ((r(k - 0) * a) + (r0 * b)/r(k)) = a
11. ((r(k - k) * a) + (r(k) * b)/r(k)) = b
12. i : ℕk
13. ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) < ((r(k - i + 1) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))
⊢ (-(a) + b + -(r(i) * a) + (r(i) * b) + (r(k) * a)) < (-(r(i) * a) + (r(i) * b) + (r(k) * a) + (r(k) * e))
BY
{ nRAdd ⌜-(r(i) * b) + (r(i) * a) + -(r(k) * a) + a⌝ 0⋅ }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. k : ℕ+
6. (b - a/r(k)) < e
7. λx.(x ∈ [a, b]) ∈ Set(ℝ)
8. r0 < (b - a)
9. ∀i:ℕk + 1. (((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ λx.((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)))
10. ((r(k - 0) * a) + (r0 * b)/r(k)) = a
11. ((r(k - k) * a) + (r(k) * b)/r(k)) = b
12. i : ℕk
13. ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) < ((r(k - i + 1) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))
⊢ b < (a + (r(k) * e))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  e  :  \mBbbR{}
4.  r0  <  e
5.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  (b  -  a/r(k))  <  e
7.  \mlambda{}x.(x  \mmember{}  [a,  b])  \mmember{}  Set(\mBbbR{})
8.  r0  <  (b  -  a)
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}k  +  1.  (((r(k  -  i)  *  a)  +  (r(i)  *  b)/r(k))  \mmember{}  \mlambda{}x.((a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)))
10.  ((r(k  -  0)  *  a)  +  (r0  *  b)/r(k))  =  a
11.  ((r(k  -  k)  *  a)  +  (r(k)  *  b)/r(k))  =  b
12.  i  :  \mBbbN{}k
13.  ((r(k  -  i)  *  a)  +  (r(i)  *  b)/r(k))  <  ((r(k  -  i  +  1)  *  a)  +  (r(i  +  1)  *  b)/r(k))
\mvdash{}  (-(a)  +  b  +  -(r(i)  *  a)  +  (r(i)  *  b)  +  (r(k)  *  a))  <  (-(r(i)  *  a)
+  (r(i)  *  b)
+  (r(k)  *  a)
+  (r(k)  *  e))


By

---

Latex:
nRAdd  \mkleeneopen{}-(r(i)  *  b)  +  (r(i)  *  a)  +  -(r(k)  *  a)  +  a\mkleeneclose{}  0\mcdot{}

---

Home Index