---

Step * 2 1 1 2 1 1 1 of Lemma interval-totally-bounded


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. k : ℕ+
6. (b - a/r(k)) < e
7. λx.(x ∈ [a, b]) ∈ Set(ℝ)
8. r0 < (b - a)
9. f : ℕk + 1 ⟶ ℝ
10. ∀i:ℕk + 1. (f i ∈ λx.(x ∈ [a, b]))
11. (f 0) = a
12. (f k) = b
13. ∀i:ℕk. (((f i) < (f (i + 1))) ∧ ((f (i + 1)) < ((f i) + e)))
14. ∀i:ℕk + 1. (f i ∈ λx.(x ∈ [a, b]))
15. x : ℝ
16. a ≤ x
17. x ≤ b
18. ∀i:ℕk. (((f i) < x) ∨ (x < (f (i + 1))))
⊢ ∃i:ℕk + 1. (|x - f i| < e)
BY
{ (((Assert (f 0) ≤ x BY Auto) THEN MoveToConcl (-1))
   THEN (Assert x ≤ (f k) BY
               Auto)
   THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN ThinVar `b'
   THEN ThinVar `a'
   THEN MoveToConcl (-2)
   THEN (Assert 0 < k BY
               Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN MoveToConcl (-2)
   THEN NatInd 3
   THEN Auto) }

1
1. e : ℝ
2. r0 < e
3. x : ℝ
4. k : ℤ
5. [%2] : 0 < k
6. ∀f:ℕ(k - 1) + 1 ⟶ ℝ
     (0 < k - 1
     ⇒ (∀i:ℕk - 1. (((f i) < (f (i + 1))) ∧ ((f (i + 1)) < ((f i) + e))))
     ⇒ (∀i:ℕk - 1. (((f i) < x) ∨ (x < (f (i + 1)))))
     ⇒ (x ≤ (f (k - 1)))
     ⇒ ((f 0) ≤ x)
     ⇒ (∃i:ℕ(k - 1) + 1. (|x - f i| < e)))
7. f : ℕk + 1 ⟶ ℝ
8. 0 < k
9. ∀i:ℕk. (((f i) < (f (i + 1))) ∧ ((f (i + 1)) < ((f i) + e)))
10. ∀i:ℕk. (((f i) < x) ∨ (x < (f (i + 1))))
11. x ≤ (f k)
12. (f 0) ≤ x
⊢ ∃i:ℕk + 1. (|x - f i| < e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  e  :  \mBbbR{}
4.  r0  <  e
5.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  (b  -  a/r(k))  <  e
7.  \mlambda{}x.(x  \mmember{}  [a,  b])  \mmember{}  Set(\mBbbR{})
8.  r0  <  (b  -  a)
9.  f  :  \mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}k  +  1.  (f  i  \mmember{}  \mlambda{}x.(x  \mmember{}  [a,  b]))
11.  (f  0)  =  a
12.  (f  k)  =  b
13.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((f  i)  <  (f  (i  +  1)))  \mwedge{}  ((f  (i  +  1))  <  ((f  i)  +  e)))
14.  \mforall{}i:\mBbbN{}k  +  1.  (f  i  \mmember{}  \mlambda{}x.(x  \mmember{}  [a,  b]))
15.  x  :  \mBbbR{}
16.  a  \mleq{}  x
17.  x  \mleq{}  b
18.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((f  i)  <  x)  \mvee{}  (x  <  (f  (i  +  1))))
\mvdash{}  \mexists{}i:\mBbbN{}k  +  1.  (|x  -  f  i|  <  e)


By

---

Latex:
(((Assert  (f  0)  \mleq{}  x  BY  Auto)  THEN  MoveToConcl  (-1))
  THEN  (Assert  x  \mleq{}  (f  k)  BY
                          Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  ThinVar  `b'
  THEN  ThinVar  `a'
  THEN  MoveToConcl  (-2)
  THEN  (Assert  0  <  k  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  MoveToConcl  (-2)
  THEN  NatInd  3
  THEN  Auto)

---

Home Index