---

Step * 2 1 of Lemma inverse-of-strict-increasing-function

.....assertion..... 
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. g : x:{x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
5. ∀t:{t:ℝ| t ∈ I} . (f t ∈ J)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y)))
7. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ J} . ((f (g x)) = x)
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((g (f x)) = x)
10. x : {x:ℝ| x ∈ J} 
11. y : {x:ℝ| x ∈ J} 
12. x < y
13. (f (g x)) < (f (g y))
⊢ g x ≠ g y
BY
{ Assert ⌜(g x) ≤ (g y)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. g : x:{x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
5. ∀t:{t:ℝ| t ∈ I} . (f t ∈ J)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y)))
7. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ J} . ((f (g x)) = x)
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((g (f x)) = x)
10. x : {x:ℝ| x ∈ J} 
11. y : {x:ℝ| x ∈ J} 
12. x < y
13. (f (g x)) < (f (g y))
⊢ (g x) ≤ (g y)

2
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. g : x:{x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
5. ∀t:{t:ℝ| t ∈ I} . (f t ∈ J)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y)))
7. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ J} . ((f (g x)) = x)
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((g (f x)) = x)
10. x : {x:ℝ| x ∈ J} 
11. y : {x:ℝ| x ∈ J} 
12. x < y
13. (f (g x)) < (f (g y))
14. (g x) ≤ (g y)
⊢ g x ≠ g y

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  J  :  Interval
4.  g  :  x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
5.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .  (f  t  \mmember{}  J)
6.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  <  (f  y)))
7.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .  ((f  (g  x))  =  x)
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  ((g  (f  x))  =  x)
10.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\} 
11.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\} 
12.  x  <  y
13.  (f  (g  x))  <  (f  (g  y))
\mvdash{}  g  x  \mneq{}  g  y


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(g  x)  \mleq{}  (g  y)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index