---

Step * 1 1 of Lemma m-regularize-mcauchy


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. s : ℕ ⟶ X
4. k : ℕ+
5. n : ℕ
6. m : ℕn
7. (6 * k) ≤ n
8. (6 * k) ≤ m
9. v : ℕ(n + 1) + 1
10. v1 : ℕ(m + 1) + 1
11. v1 = 0 ∈ ℤ ⇐⇒ ∀n:ℕm + 1. m-not-reg(d;s;n) = ff
12. (∀n:ℕv1 - 1. m-not-reg(d;s;n) = ff) ∧ m-not-reg(d;s;v1 - 1) = tt supposing 0 < v1
13. v = 0 ∈ ℤ ⇐⇒ ∀n:ℕn + 1. m-not-reg(d;s;n) = ff
14. (∀n:ℕv - 1. m-not-reg(d;s;n) = ff) ∧ m-not-reg(d;s;v - 1) = tt supposing 0 < v
15. 0 < v1
⊢ mdist(d;if 0 <z v then s (v - 2) else s n fi ;if 0 <z v1 then s (v1 - 2) else s m fi ) ≤ (r1/r(k))
BY
{ (ThinTrivial THEN CaseNat 1 `v1') }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. s : ℕ ⟶ X
4. k : ℕ+
5. n : ℕ
6. m : ℕn
7. (6 * k) ≤ n
8. (6 * k) ≤ m
9. v : ℕ(n + 1) + 1
10. v1 : ℕ(m + 1) + 1
11. v1 = 0 ∈ ℤ ⇐⇒ ∀n:ℕm + 1. m-not-reg(d;s;n) = ff
12. v = 0 ∈ ℤ ⇐⇒ ∀n:ℕn + 1. m-not-reg(d;s;n) = ff
13. (∀n:ℕv - 1. m-not-reg(d;s;n) = ff) ∧ m-not-reg(d;s;v - 1) = tt supposing 0 < v
14. 0 < v1
15. (∀n:ℕv1 - 1. m-not-reg(d;s;n) = ff) ∧ m-not-reg(d;s;v1 - 1) = tt
16. v1 = 1 ∈ ℤ
⊢ mdist(d;if 0 <z v then s (v - 2) else s n fi ;if 0 <z 1 then s (1 - 2) else s m fi ) ≤ (r1/r(k))

2
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. s : ℕ ⟶ X
4. k : ℕ+
5. n : ℕ
6. m : ℕn
7. (6 * k) ≤ n
8. (6 * k) ≤ m
9. v : ℕ(n + 1) + 1
10. v1 : ℕ(m + 1) + 1
11. v1 = 0 ∈ ℤ ⇐⇒ ∀n:ℕm + 1. m-not-reg(d;s;n) = ff
12. v = 0 ∈ ℤ ⇐⇒ ∀n:ℕn + 1. m-not-reg(d;s;n) = ff
13. (∀n:ℕv - 1. m-not-reg(d;s;n) = ff) ∧ m-not-reg(d;s;v - 1) = tt supposing 0 < v
14. 0 < v1
15. (∀n:ℕv1 - 1. m-not-reg(d;s;n) = ff) ∧ m-not-reg(d;s;v1 - 1) = tt
16. ¬(v1 = 1 ∈ ℤ)
⊢ mdist(d;if 0 <z v then s (v - 2) else s n fi ;if 0 <z v1 then s (v1 - 2) else s m fi ) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  s  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  X
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  m  :  \mBbbN{}n
7.  (6  *  k)  \mleq{}  n
8.  (6  *  k)  \mleq{}  m
9.  v  :  \mBbbN{}(n  +  1)  +  1
10.  v1  :  \mBbbN{}(m  +  1)  +  1
11.  v1  =  0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mforall{}n:\mBbbN{}m  +  1.  m-not-reg(d;s;n)  =  ff
12.  (\mforall{}n:\mBbbN{}v1  -  1.  m-not-reg(d;s;n)  =  ff)  \mwedge{}  m-not-reg(d;s;v1  -  1)  =  tt  supposing  0  <  v1
13.  v  =  0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mforall{}n:\mBbbN{}n  +  1.  m-not-reg(d;s;n)  =  ff
14.  (\mforall{}n:\mBbbN{}v  -  1.  m-not-reg(d;s;n)  =  ff)  \mwedge{}  m-not-reg(d;s;v  -  1)  =  tt  supposing  0  <  v
15.  0  <  v1
\mvdash{}  mdist(d;if  0  <z  v  then  s  (v  -  2)  else  s  n  fi  ;if  0  <z  v1  then  s  (v1  -  2)  else  s  m  fi  )  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
(ThinTrivial  THEN  CaseNat  1  `v1')

---

Home Index