---

Step * 2 1 of Lemma mcompact_functionality_wrt_homeomorphic+


1. X : Type
2. Y : Type
3. d : metric(X)
4. d' : metric(Y)
5. f : FUN(Y ⟶ X)
6. g : FUN(X ⟶ Y)
7. [%6] : (∀x:Y. g (f x) ≡ x) ∧ (∀y:X. f (g y) ≡ y)
8. B : ℕ+
9. [%5] : ∀x1,x2:Y.  (mdist(d;f x1;f x2) ≤ (r(B) * mdist(d';x1;x2)))
10. mcomplete(X with d)
11. mcomplete(Y with d')
12. k : ℕ
13. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
14. ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(d';g x;g y) ≤ (r1/r(k + 1))))
15. k1 : ℕ+
16. (r1/r(k1)) < delta
17. n : ℕ+
18. xs : ℕn ⟶ X
19. ∀x:X. ∃i:ℕn. (mdist(d;x;xs i) ≤ (r1/r(k1)))
⊢ ∃xs:ℕn ⟶ Y. ∀x:Y. ∃i:ℕn. (mdist(d';x;xs i) ≤ (r1/r(k + 1)))
BY
{ ((D 0 With ⌜g o xs⌝  THENA Auto)
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN (D -2 With ⌜f x⌝  THENA Auto)
   THEN ParallelLast
   THEN Reduce 0) }

1
1. X : Type
2. Y : Type
3. d : metric(X)
4. d' : metric(Y)
5. f : FUN(Y ⟶ X)
6. g : FUN(X ⟶ Y)
7. [%6] : (∀x:Y. g (f x) ≡ x) ∧ (∀y:X. f (g y) ≡ y)
8. B : ℕ+
9. [%5] : ∀x1,x2:Y.  (mdist(d;f x1;f x2) ≤ (r(B) * mdist(d';x1;x2)))
10. mcomplete(X with d)
11. mcomplete(Y with d')
12. k : ℕ
13. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
14. ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ delta) ⇒ (mdist(d';g x;g y) ≤ (r1/r(k + 1))))
15. k1 : ℕ+
16. (r1/r(k1)) < delta
17. n : ℕ+
18. xs : ℕn ⟶ X
19. x : Y
20. i : ℕn
21. mdist(d;f x;xs i) ≤ (r1/r(k1))
⊢ mdist(d';x;g (xs i)) ≤ (r1/r(k + 1))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  Y  :  Type
3.  d  :  metric(X)
4.  d'  :  metric(Y)
5.  f  :  FUN(Y  {}\mrightarrow{}  X)
6.  g  :  FUN(X  {}\mrightarrow{}  Y)
7.  [\%6]  :  (\mforall{}x:Y.  g  (f  x)  \mequiv{}  x)  \mwedge{}  (\mforall{}y:X.  f  (g  y)  \mequiv{}  y)
8.  B  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  [\%5]  :  \mforall{}x1,x2:Y.    (mdist(d;f  x1;f  x2)  \mleq{}  (r(B)  *  mdist(d';x1;x2)))
10.  mcomplete(X  with  d)
11.  mcomplete(Y  with  d')
12.  k  :  \mBbbN{}
13.  delta  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
14.  \mforall{}x,y:X.    ((mdist(d;x;y)  \mleq{}  delta)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d';g  x;g  y)  \mleq{}  (r1/r(k  +  1))))
15.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
16.  (r1/r(k1))  <  delta
17.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  xs  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  X
19.  \mforall{}x:X.  \mexists{}i:\mBbbN{}n.  (mdist(d;x;xs  i)  \mleq{}  (r1/r(k1)))
\mvdash{}  \mexists{}xs:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  Y.  \mforall{}x:Y.  \mexists{}i:\mBbbN{}n.  (mdist(d';x;xs  i)  \mleq{}  (r1/r(k  +  1)))


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}g  o  xs\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  (D  -2  With  \mkleeneopen{}f  x\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  ParallelLast
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index