---

Step * 1 2 1 2 of Lemma mean-value-for-bounded-derivative


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. c : ℝ
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (|f'[x]| ≤ c)
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
11. f'[x] continuous for x ∈ I
12. f[x] continuous for x ∈ I
13. e : {e:ℝ| r0 < e} 
14. (y < x) ⇒ (|f[y] - f[x]| ≤ ((c * |y - x|) + e))
15. x < y
16. [x, y] ⊆ I 
17. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
18. x@0 : ℝ
19. x@0 ∈ [x, y]
20. |f[y] - f[x] - f'[x@0] * (y - x)| ≤ e
⊢ |f[y] - f[x]| ≤ ((c * |y - x|) + e)
BY
{ ((Assert |f'[x@0]| ≤ c BY
          Auto)
   THEN (Assert |f'[x@0] * (y - x)| ≤ (c * |y - x|) BY
               ((GenConclTerm ⌜y - x⌝⋅ THENA Auto)
                THEN (nRMul ⌜|v|⌝ (-3)⋅ THENA Auto)
                THEN RWO "rabs-rmul" (0)
                THEN Auto))
   THEN (MoveToConcl (-1) THEN MoveToConcl (-2))
   THEN (GenConclTerms Auto [⌜f'[x@0] * (y - x)⌝;⌜f[y] - f[x]⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN All Thin
   THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. c : ℝ
3. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
4. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. v : ℝ
7. v1 : ℝ
8. |v1 - v| ≤ e
9. |v| ≤ (c * |y - x|)
⊢ |v1| ≤ ((c * |y - x|) + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
6.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
7.  c  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (|f'[x]|  \mleq{}  c)
9.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
11.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
12.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
13.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
14.  (y  <  x)  {}\mRightarrow{}  (|f[y]  -  f[x]|  \mleq{}  ((c  *  |y  -  x|)  +  e))
15.  x  <  y
16.  [x,  y]  \msubseteq{}  I 
17.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [x,  y]
18.  x@0  :  \mBbbR{}
19.  x@0  \mmember{}  [x,  y]
20.  |f[y]  -  f[x]  -  f'[x@0]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  e
\mvdash{}  |f[y]  -  f[x]|  \mleq{}  ((c  *  |y  -  x|)  +  e)


By

---

Latex:
((Assert  |f'[x@0]|  \mleq{}  c  BY
                Auto)
  THEN  (Assert  |f'[x@0]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  (c  *  |y  -  x|)  BY
                          ((GenConclTerm  \mkleeneopen{}y  -  x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}|v|\mkleeneclose{}  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  RWO  "rabs-rmul"  (0)
                            THEN  Auto))
  THEN  (MoveToConcl  (-1)  THEN  MoveToConcl  (-2))
  THEN  (GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}f'[x@0]  *  (y  -  x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f[y]  -  f[x]\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  All  Thin
  THEN  Auto)

---

Home Index