---

Step * 1 of Lemma mesh-property


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. p : partition(I)
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. partition-mesh(I;p) ≤ e
7. x : ℝ
8. x ∈ I
9. full-partition(I;p)[0]≤x≤full-partition(I;p)[||full-partition(I;p)|| - 1]
10. (¬0 < ||p||) ⇒ r0≤right-endpoint(I) - left-endpoint(I)≤partition-mesh(I;p)
11. 0 < ||p||
⇒ (r0≤p[0] - left-endpoint(I)≤partition-mesh(I;p)
   ∧ (∀i:ℕ||p|| - 1. r0≤p[i + 1] - p[i]≤partition-mesh(I;p))
   ∧ r0≤right-endpoint(I) - last(p)≤partition-mesh(I;p))
12. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
13. i : ℕ(||p|| + 2) - 1
⊢ r0≤full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]≤e
BY
{ Assert ⌜r0≤full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]≤partition-mesh(I;p)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. p : partition(I)
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. partition-mesh(I;p) ≤ e
7. x : ℝ
8. x ∈ I
9. full-partition(I;p)[0]≤x≤full-partition(I;p)[||full-partition(I;p)|| - 1]
10. (¬0 < ||p||) ⇒ r0≤right-endpoint(I) - left-endpoint(I)≤partition-mesh(I;p)
11. 0 < ||p||
⇒ (r0≤p[0] - left-endpoint(I)≤partition-mesh(I;p)
   ∧ (∀i:ℕ||p|| - 1. r0≤p[i + 1] - p[i]≤partition-mesh(I;p))
   ∧ r0≤right-endpoint(I) - last(p)≤partition-mesh(I;p))
12. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
13. i : ℕ(||p|| + 2) - 1
⊢ r0≤full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]≤partition-mesh(I;p)

2
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. p : partition(I)
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. partition-mesh(I;p) ≤ e
7. x : ℝ
8. x ∈ I
9. full-partition(I;p)[0]≤x≤full-partition(I;p)[||full-partition(I;p)|| - 1]
10. (¬0 < ||p||) ⇒ r0≤right-endpoint(I) - left-endpoint(I)≤partition-mesh(I;p)
11. 0 < ||p||
⇒ (r0≤p[0] - left-endpoint(I)≤partition-mesh(I;p)
   ∧ (∀i:ℕ||p|| - 1. r0≤p[i + 1] - p[i]≤partition-mesh(I;p))
   ∧ r0≤right-endpoint(I) - last(p)≤partition-mesh(I;p))
12. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
13. i : ℕ(||p|| + 2) - 1
14. r0≤full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]≤partition-mesh(I;p)
⊢ r0≤full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]≤e

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  p  :  partition(I)
4.  e  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  e
6.  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  e
7.  x  :  \mBbbR{}
8.  x  \mmember{}  I
9.  full-partition(I;p)[0]\mleq{}x\mleq{}full-partition(I;p)[||full-partition(I;p)||  -  1]
10.  (\mneg{}0  <  ||p||)  {}\mRightarrow{}  r0\mleq{}right-endpoint(I)  -  left-endpoint(I)\mleq{}partition-mesh(I;p)
11.  0  <  ||p||
{}\mRightarrow{}  (r0\mleq{}p[0]  -  left-endpoint(I)\mleq{}partition-mesh(I;p)
      \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||p||  -  1.  r0\mleq{}p[i  +  1]  -  p[i]\mleq{}partition-mesh(I;p))
      \mwedge{}  r0\mleq{}right-endpoint(I)  -  last(p)\mleq{}partition-mesh(I;p))
12.  ||full-partition(I;p)||  =  (||p||  +  2)
13.  i  :  \mBbbN{}(||p||  +  2)  -  1
\mvdash{}  r0\mleq{}full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i]\mleq{}e


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}r0\mleq{}full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i]\mleq{}partition-mesh(I;p)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index