---

Step * 1 1 2 of Lemma near-fixpoint-on-0-1


1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. ∀x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ⇒ (f[x] ∈ [r0, r1]))
3. f[x] continuous for x ∈ [r0, r1]
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. r0 < f[r0]
7. f[r1] < r1
⊢ ∃x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ∧ (|f[x] - x| < e))
BY
{ ((Assert (r0 - f[r0]) < r0 BY
          (nRAdd ⌜f[r0]⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN (Assert r0 < (r1 - f[r1]) BY
               (nRAdd ⌜f[r1]⌝ 0⋅ THEN Auto))
   ) }

1
1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. ∀x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ⇒ (f[x] ∈ [r0, r1]))
3. f[x] continuous for x ∈ [r0, r1]
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. r0 < f[r0]
7. f[r1] < r1
8. (r0 - f[r0]) < r0
9. r0 < (r1 - f[r1])
⊢ ∃x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ∧ (|f[x] - x| < e))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  [r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [r0,  r1])  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mmember{}  [r0,  r1]))
3.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [r0,  r1]
4.  e  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  e
6.  r0  <  f[r0]
7.  f[r1]  <  r1
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [r0,  r1])  \mwedge{}  (|f[x]  -  x|  <  e))


By

---

Latex:
((Assert  (r0  -  f[r0])  <  r0  BY
                (nRAdd  \mkleeneopen{}f[r0]\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  r0  <  (r1  -  f[r1])  BY
                          (nRAdd  \mkleeneopen{}f[r1]\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  )

---

Home Index