---

Step * 1 1 2 1 of Lemma near-fixpoint-on-0-1


1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. ∀x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ⇒ (f[x] ∈ [r0, r1]))
3. f[x] continuous for x ∈ [r0, r1]
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. r0 < f[r0]
7. f[r1] < r1
8. (r0 - f[r0]) < r0
9. r0 < (r1 - f[r1])
⊢ ∃x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ∧ (|f[x] - x| < e))
BY
{ ((InstLemma `intermediate-value-theorem` [⌜[r0, r1]⌝;⌜λ2x.x - f[x]⌝;⌜r0⌝;⌜r1⌝;⌜r0⌝;⌜e⌝⋅]⋅
    THENA (Auto THEN Try ((ProveRealContinuous THEN Auto)))
    )
   THEN RepUR ``r-ap so_lambda`` (-1)
   THEN RepUR ``r-ap so_lambda`` (0)
   THEN Try (MemTypeCD)
   THEN Auto)⋅ }

1
1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. ∀x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ⇒ (f[x] ∈ [r0, r1]))
3. f[x] continuous for x ∈ [r0, r1]
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. r0 < f[r0]
7. f[r1] < r1
8. (r0 - f[r0]) < r0
9. r0 < (r1 - f[r1])
10. ∃x:{x:ℝ| (rmin(r0;r1) ≤ x) ∧ (x ≤ rmax(r0;r1))} . (|x - f[x] - r0| < e)
⊢ ∃x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ∧ (|f[x] - x| < e))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  [r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [r0,  r1])  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mmember{}  [r0,  r1]))
3.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [r0,  r1]
4.  e  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  e
6.  r0  <  f[r0]
7.  f[r1]  <  r1
8.  (r0  -  f[r0])  <  r0
9.  r0  <  (r1  -  f[r1])
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [r0,  r1])  \mwedge{}  (|f[x]  -  x|  <  e))


By

---

Latex:
((InstLemma  `intermediate-value-theorem`  [\mkleeneopen{}[r0,  r1]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.x  -  f[x]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}\mcdot{}]\mcdot{}
    THENA  (Auto  THEN  Try  ((ProveRealContinuous  THEN  Auto)))
    )
  THEN  RepUR  ``r-ap  so\_lambda``  (-1)
  THEN  RepUR  ``r-ap  so\_lambda``  (0)
  THEN  Try  (MemTypeCD)
  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index