---

Step * 1 1 2 1 1 of Lemma near-fixpoint-on-0-1


1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. ∀x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ⇒ (f[x] ∈ [r0, r1]))
3. f[x] continuous for x ∈ [r0, r1]
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. r0 < f[r0]
7. f[r1] < r1
8. (r0 - f[r0]) < r0
9. r0 < (r1 - f[r1])
10. ∃x:{x:ℝ| (rmin(r0;r1) ≤ x) ∧ (x ≤ rmax(r0;r1))} . (|x - f[x] - r0| < e)
⊢ ∃x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ∧ (|f[x] - x| < e))
BY
{ (D -1 THEN With ⌜x⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) }

1
1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. ∀x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ⇒ (f[x] ∈ [r0, r1]))
3. f[x] continuous for x ∈ [r0, r1]
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. r0 < f[r0]
7. f[r1] < r1
8. (r0 - f[r0]) < r0
9. r0 < (r1 - f[r1])
10. x : {x:ℝ| (rmin(r0;r1) ≤ x) ∧ (x ≤ rmax(r0;r1))} 
11. |x - f[x] - r0| < e
⊢ x ∈ [r0, r1]

2
1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. ∀x:ℝ. ((x ∈ [r0, r1]) ⇒ (f[x] ∈ [r0, r1]))
3. f[x] continuous for x ∈ [r0, r1]
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. r0 < f[r0]
7. f[r1] < r1
8. (r0 - f[r0]) < r0
9. r0 < (r1 - f[r1])
10. x : {x:ℝ| (rmin(r0;r1) ≤ x) ∧ (x ≤ rmax(r0;r1))} 
11. |x - f[x] - r0| < e
12. x ∈ [r0, r1]
⊢ |f[x] - x| < e

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  [r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [r0,  r1])  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mmember{}  [r0,  r1]))
3.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [r0,  r1]
4.  e  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  e
6.  r0  <  f[r0]
7.  f[r1]  <  r1
8.  (r0  -  f[r0])  <  r0
9.  r0  <  (r1  -  f[r1])
10.  \mexists{}x:\{x:\mBbbR{}|  (rmin(r0;r1)  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  rmax(r0;r1))\}  .  (|x  -  f[x]  -  r0|  <  e)
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [r0,  r1])  \mwedge{}  (|f[x]  -  x|  <  e))


By

---

Latex:
(D  -1  THEN  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index