---

Step * 1 2 2 3 of Lemma near-inverse-of-increasing-function


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. n : ℕ+
3. M : ℕ+
4. z : ℝ
5. n@0 : ℕ
6. ∀[m:ℕn@0]
     ∀a,b:ℤ.
       ∀k:ℕ+
         (∃c:ℤ. (∃j:ℕ+ [((|f[(r(c))/j] - z| ≤ (r1/r(n))) ∧ ((r(a))/k ≤ (r(c))/j) ∧ ((r(c))/j ≤ (r(b))/k))])) supposing 
            ((z ≤ f[(r(b))/k]) and 
            (f[(r(a))/k] ≤ z) and 
            (∀x,y:ℝ.
               (((r(a))/k ≤ x)
               ⇒ (x < y)
               ⇒ (y ≤ (r(b))/k)
               ⇒ ((f[x] ≤ f[y]) ∧ (((y - x) ≤ (r1/r(M))) ⇒ ((f[y] - f[x]) ≤ (r1/r(n))))))) and 
            (((M * (b - a)) - k) ≤ m)) 
       supposing a < b
7. a : ℤ
8. b : ℤ
9. a < b
10. k : ℕ+
11. ((M * (b - a)) - k) ≤ n@0
12. ∀x,y:ℝ.
      (((r(a))/k ≤ x)
      ⇒ (x < y)
      ⇒ (y ≤ (r(b))/k)
      ⇒ ((f[x] ≤ f[y]) ∧ (((y - x) ≤ (r1/r(M))) ⇒ ((f[y] - f[x]) ≤ (r1/r(n))))))
13. f[(r(a))/k] ≤ z
14. z ≤ f[(r(b))/k]
15. ¬((M * (b - a)) ≤ k)
16. m : ℤ
17. m = (a + b) ∈ ℤ
18. j : ℤ
19. j = (2 * k) ∈ ℤ
20. z < f[(r(m))/j]
21. aa : ℤ
22. aa = (2 * a) ∈ ℤ
23. x : ℝ
24. y : ℝ
25. (r(aa))/j ≤ x
26. x < y
27. y ≤ (r(m))/j
⊢ y ≤ (r(b))/k
BY
{ ((RWO  "-1" 0 THENA Auto)
   THEN RWO  "int-rdiv-req" 0
   THEN Auto
   THEN (Assert m ≤ (2 * b) BY
               Auto)
   THEN Mul ⌜k⌝ (-1)⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  z  :  \mBbbR{}
5.  n@0  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}[m:\mBbbN{}n@0]
          \mforall{}a,b:\mBbbZ{}.
              \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}
                  (\mexists{}c:\mBbbZ{}
                      (\mexists{}j:\mBbbN{}\msupplus{}  [((|f[(r(c))/j]  -  z|  \mleq{}  (r1/r(n)))
                                    \mwedge{}  ((r(a))/k  \mleq{}  (r(c))/j)
                                    \mwedge{}  ((r(c))/j  \mleq{}  (r(b))/k))]))  supposing 
                        ((z  \mleq{}  f[(r(b))/k])  and 
                        (f[(r(a))/k]  \mleq{}  z)  and 
                        (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                              (((r(a))/k  \mleq{}  x)
                              {}\mRightarrow{}  (x  <  y)
                              {}\mRightarrow{}  (y  \mleq{}  (r(b))/k)
                              {}\mRightarrow{}  ((f[x]  \mleq{}  f[y])  \mwedge{}  (((y  -  x)  \mleq{}  (r1/r(M)))  {}\mRightarrow{}  ((f[y]  -  f[x])  \mleq{}  (r1/r(n)))))))  and 
                        (((M  *  (b  -  a))  -  k)  \mleq{}  m)) 
              supposing  a  <  b
7.  a  :  \mBbbZ{}
8.  b  :  \mBbbZ{}
9.  a  <  b
10.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  ((M  *  (b  -  a))  -  k)  \mleq{}  n@0
12.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
            (((r(a))/k  \mleq{}  x)
            {}\mRightarrow{}  (x  <  y)
            {}\mRightarrow{}  (y  \mleq{}  (r(b))/k)
            {}\mRightarrow{}  ((f[x]  \mleq{}  f[y])  \mwedge{}  (((y  -  x)  \mleq{}  (r1/r(M)))  {}\mRightarrow{}  ((f[y]  -  f[x])  \mleq{}  (r1/r(n))))))
13.  f[(r(a))/k]  \mleq{}  z
14.  z  \mleq{}  f[(r(b))/k]
15.  \mneg{}((M  *  (b  -  a))  \mleq{}  k)
16.  m  :  \mBbbZ{}
17.  m  =  (a  +  b)
18.  j  :  \mBbbZ{}
19.  j  =  (2  *  k)
20.  z  <  f[(r(m))/j]
21.  aa  :  \mBbbZ{}
22.  aa  =  (2  *  a)
23.  x  :  \mBbbR{}
24.  y  :  \mBbbR{}
25.  (r(aa))/j  \mleq{}  x
26.  x  <  y
27.  y  \mleq{}  (r(m))/j
\mvdash{}  y  \mleq{}  (r(b))/k


By

---

Latex:
((RWO    "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  RWO    "int-rdiv-req"  0
  THEN  Auto
  THEN  (Assert  m  \mleq{}  (2  *  b)  BY
                          Auto)
  THEN  Mul  \mkleeneopen{}k\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index