---

Step * 1 of Lemma near-root-rational


1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
⊢ ∃r:ℤ × ℕ+ [let a,b = r 
             in (0 ≤ p ⇐⇒ 0 ≤ a) ∧ (|(r(a))/b^k - (r(p)/r(q))| < (r1/r(n)))]
BY
{ ((Evaluate ⌜s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Evaluate ⌜b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)
   THEN ((Evaluate ⌜c = b^k - 1 ∈ ℕ+⌝⋅ THENA (Auto THEN RWO "exp-fastexp<" 0 THEN Auto))
         THEN (RWO "exp-fastexp<" (-1) THENA Auto)
         )
   THEN (Evaluate ⌜a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Evaluate ⌜d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto))⋅ }

1
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. ¬↑s
8. ff = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
9. b : ℕ+
10. b = (q * n) ∈ ℕ+
11. c : ℕ+
12. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
13. a : ℤ
14. a = (p * n * c) ∈ ℤ
15. ℕ+ ∈ Type
⊢ c - 1 ∈ ℕ+

2
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
8. b : ℕ+
9. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
10. c : ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
⊢ ∃r:ℤ × ℕ+ [let a,b = r 
             in (0 ≤ p ⇐⇒ 0 ≤ a) ∧ (|(r(a))/b^k - (r(p)/r(q))| < (r1/r(n)))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \{2...\}
2.  p  :  \mBbbZ{}
3.  q  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (0  \mleq{}  p)  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
\mvdash{}  \mexists{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}  [let  a,b  =  r 
                          in  (0  \mleq{}  p  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  0  \mleq{}  a)  \mwedge{}  (|(r(a))/b\^{}k  -  (r(p)/r(q))|  <  (r1/r(n)))]


By

---

Latex:
((Evaluate  \mkleeneopen{}s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  \mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ((Evaluate  \mkleeneopen{}c  =  b\^{}k  -  1\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  (Auto  THEN  RWO  "exp-fastexp<"  0  THEN  Auto))
              THEN  (RWO  "exp-fastexp<"  (-1)  THENA  Auto)
              )
  THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}a  =  if  s  then  p  *  2  *  c  else  p  *  n  *  c  fi  \mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}d  =  (if  s  then  2  *  c  else  c  fi    -  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))\mcdot{}

---

Home Index