---

Step * 1 2 of Lemma near-root-rational


1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
8. b : ℕ+
9. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
10. c : ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
⊢ ∃r:ℤ × ℕ+ [let a,b = r 
             in (0 ≤ p ⇐⇒ 0 ≤ a) ∧ (|(r(a))/b^k - (r(p)/r(q))| < (r1/r(n)))]
BY
{ ((InstLemma `iroot-lemma2` [⌜|a|⌝;⌜k⌝;⌜b⌝;⌜d⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN D -2
   THEN Reduce (-1)
   THEN RenameVar `x' (-3)
   THEN RenameVar `y' (-2)
   THEN (With ⌜<if p <z 0 then -x else x fi , y>⌝ (D 0)⋅ THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN (RWO "int-rdiv-req" 0 THENA Auto)
   THEN Auto
   THEN Try (Complete (Auto)))⋅ }

1
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
8. b : ℕ+
9. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
10. c : ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |a| * y^k < (x * b)^k
19. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
20. 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
⊢ 0 ≤ p

2
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
8. b : ℕ+
9. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
10. c : ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |a| * y^k < (x * b)^k
19. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
20. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
21. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
⊢ |(r(if p <z 0 then -x else x fi )/r(y))^k - (r(p)/r(q))| < (r1/r(n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \{2...\}
2.  p  :  \mBbbZ{}
3.  q  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (0  \mleq{}  p)  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
6.  s  :  \mBbbB{}
7.  s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)
8.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi 
10.  c  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  c  =  b\^{}(k  -  1)
12.  a  :  \mBbbZ{}
13.  a  =  if  s  then  p  *  2  *  c  else  p  *  n  *  c  fi 
14.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  d  =  (if  s  then  2  *  c  else  c  fi    -  1)
\mvdash{}  \mexists{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}  [let  a,b  =  r 
                          in  (0  \mleq{}  p  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  0  \mleq{}  a)  \mwedge{}  (|(r(a))/b\^{}k  -  (r(p)/r(q))|  <  (r1/r(n)))]


By

---

Latex:
((InstLemma  `iroot-lemma2`  [\mkleeneopen{}|a|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  D  -2
  THEN  Reduce  (-1)
  THEN  RenameVar  `x'  (-3)
  THEN  RenameVar  `y'  (-2)
  THEN  (With  \mkleeneopen{}<if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  ,  y>\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  (RWO  "int-rdiv-req"  0  THENA  Auto)
  THEN  Auto
  THEN  Try  (Complete  (Auto)))\mcdot{}

---

Home Index