---

Step * 1 1 of Lemma not-in-compact-separated


1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. [A] : Type
4. [%] : mcomplete(X with d) ∧ metric-subspace(X;d;A)
5. A ⊆r X
6. respects-equality(X;A)
7. ∀a:A. ∀x:X.  (x ≡ a ⇒ (x ∈ A))
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. ¬(x ∈ A)
11. ∃n:ℕ+. ∀a:A. ((r1/r(n)) ≤ mdist(d;x;a)) ∈ ℙ
⊢ ¬¬(∃n:ℕ+. ∀a:A. ((r1/r(n)) ≤ mdist(d;x;a)))
BY
{ ((StableCases ⌜r0 < dist(x;A)⌝⋅ THENA (Complete (Auto) ORELSE (RepeatFor 3 (D 0) THEN At ⌜Type⌝ (D 0)⋅ THEN Auto)))
   THEN ((FLemma `compact-dist-positive` [-1] THEN Auto) ORELSE (FLemma `not-rless`[-1] THENA Auto))
   ) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. A : Type
4. mcomplete(X with d) ∧ metric-subspace(X;d;A)
5. A ⊆r X
6. respects-equality(X;A)
7. ∀a:A. ∀x:X.  (x ≡ a ⇒ (x ∈ A))
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. ¬(x ∈ A)
11. ∃n:ℕ+. ∀a:A. ((r1/r(n)) ≤ mdist(d;x;a)) ∈ ℙ
12. ¬(r0 < dist(x;A))
13. dist(x;A) ≤ r0
⊢ ¬¬(∃n:ℕ+. ∀a:A. ((r1/r(n)) ≤ mdist(d;x;a)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  [A]  :  Type
4.  [\%]  :  mcomplete(X  with  d)  \mwedge{}  metric-subspace(X;d;A)
5.  A  \msubseteq{}r  X
6.  respects-equality(X;A)
7.  \mforall{}a:A.  \mforall{}x:X.    (x  \mequiv{}  a  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  A))
8.  c  :  mcompact(A;d)
9.  x  :  X
10.  \mneg{}(x  \mmember{}  A)
11.  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}a:A.  ((r1/r(n))  \mleq{}  mdist(d;x;a))  \mmember{}  \mBbbP{}
\mvdash{}  \mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}a:A.  ((r1/r(n))  \mleq{}  mdist(d;x;a)))


By

---

Latex:
((StableCases  \mkleeneopen{}r0  <  dist(x;A)\mkleeneclose{}\mcdot{}
    THENA  (Complete  (Auto)  ORELSE  (RepeatFor  3  (D  0)  THEN  At  \mkleeneopen{}Type\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto))
    )
  THEN  ((FLemma  `compact-dist-positive`  [-1]  THEN  Auto)  ORELSE  (FLemma  `not-rless`[-1]  THENA  Auto))
  )

---

Home Index