---

Step * 1 of Lemma old-proof-of-real-continuity


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. real-sfun(f;a;b)
⊢ real-cont(f;a;b)
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN (InstLemma `decidable-cantor-to-int-ext` [⌜λ2x y.4 < |x - y|⌝;⌜λg.(f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k))⌝]⋅
         THENA Auto
         )
   THEN Reduce (-1)
   THEN D -1) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. real-sfun(f;a;b)
7. k : ℕ+
8. ∃f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹. 4 < |(f cantor-to-interval(a;b;f@0) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)|
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. real-fun(f;a;b)
6. real-sfun(f;a;b)
7. k : ℕ+
8. ¬(∃f@0,g:ℕ ⟶ 𝔹. 4 < |(f cantor-to-interval(a;b;f@0) (4 * k)) - f cantor-to-interval(a;b;g) (4 * k)|)
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  real-fun(f;a;b)
6.  real-sfun(f;a;b)
\mvdash{}  real-cont(f;a;b)


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `decidable-cantor-to-int-ext`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x  y.4  <  |x  -  y|\mkleeneclose{};
              \mkleeneopen{}\mlambda{}g.(f  cantor-to-interval(a;b;g)  (4  *  k))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  Reduce  (-1)
  THEN  D  -1)

---

Home Index