---

Step * 1 2 1 of Lemma power-series-converges


1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℝ
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : ℕ
5. ∀n:{N...}. (|a[n + 1]| ≤ (|a[n]|/r))
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx((b - r, b + r);m))} 
7. r' : ℝ
8. r0 ≤ r'
9. r' < r
10. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [(b - r) + (r1/r(m)), (b + r) - (r1/r(m))]} . (|x - b| ≤ r')
11. r0 ≤ (r'/r)
12. (r'/r) < r1
⊢ ∃N:ℕ
   ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| (((b - r) + (r1/r(m))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((b + r) - (r1/r(m))))} .
     (|a[n + 1] * x - b^n + 1| ≤ ((r'/r) * |a[n] * x - b^n|))
BY
{ (With ⌜N⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) }

1
1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. b : ℝ
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : ℕ
5. ∀n:{N...}. (|a[n + 1]| ≤ (|a[n]|/r))
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx((b - r, b + r);m))} 
7. r' : ℝ
8. r0 ≤ r'
9. r' < r
10. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [(b - r) + (r1/r(m)), (b + r) - (r1/r(m))]} . (|x - b| ≤ r')
11. r0 ≤ (r'/r)
12. (r'/r) < r1
13. n : {N...}
14. x : {x:ℝ| (((b - r) + (r1/r(m))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((b + r) - (r1/r(m))))} 
⊢ |a[n + 1] * x - b^n + 1| ≤ ((r'/r) * |a[n] * x - b^n|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\} 
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  \mforall{}n:\{N...\}.  (|a[n  +  1]|  \mleq{}  (|a[n]|/r))
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx((b  -  r,  b  +  r);m))\} 
7.  r'  :  \mBbbR{}
8.  r0  \mleq{}  r'
9.  r'  <  r
10.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(b  -  r)  +  (r1/r(m)),  (b  +  r)  -  (r1/r(m))]\}  .  (|x  -  b|  \mleq{}  r')
11.  r0  \mleq{}  (r'/r)
12.  (r'/r)  <  r1
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}
      \mforall{}n:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (((b  -  r)  +  (r1/r(m)))  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  ((b  +  r)  -  (r1/r(m))))\}  .
          (|a[n  +  1]  *  x  -  b\^{}n  +  1|  \mleq{}  ((r'/r)  *  |a[n]  *  x  -  b\^{}n|))


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}N\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index