---

Step * 1 of Lemma prod-metric-space-complete


1. k : ℕ
2. X : ℕk ⟶ MetricSpace
3. ∀i:ℕk. mcomplete(X i)
4. prod-metric(k;λi.(snd((X i)))) ∈ metric(i:ℕk ⟶ (fst((X i))))
5. x : ℕ ⟶ i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
6. mcauchy(prod-metric(k;λi.(snd((X i))));n.x n)
⊢ x n↓ as n→∞
BY
{ (Assert ∀i:ℕk. mcauchy(snd((X i));n.x n i) BY
         (Auto
          THEN RepeatFor 2 (ParallelOp -2)
          THEN RepeatFor 5 (ParallelLast)
          THEN (Assert Σ{mdist(snd((X i));x n i;x m i) | 0≤i≤k - 1} ≤ (r1/r(k1)) BY
                      (RepUR ``mdist`` -1 THEN RepUR ``mdist`` 0 THEN RepUR ``prod-metric mdist`` -1 THEN Trivial))
          THEN RWO  "-1<" 0
          THEN Auto
          THEN Using [`i',⌜i⌝] (BLemma `item-rleq-rsum-of-nonneg`)⋅
          THEN Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. X : ℕk ⟶ MetricSpace
3. ∀i:ℕk. mcomplete(X i)
4. prod-metric(k;λi.(snd((X i)))) ∈ metric(i:ℕk ⟶ (fst((X i))))
5. x : ℕ ⟶ i:ℕk ⟶ (fst((X i)))
6. mcauchy(prod-metric(k;λi.(snd((X i))));n.x n)
7. ∀i:ℕk. mcauchy(snd((X i));n.x n i)
⊢ x n↓ as n→∞

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  X  :  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  MetricSpace
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  mcomplete(X  i)
4.  prod-metric(k;\mlambda{}i.(snd((X  i))))  \mmember{}  metric(i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i))))
5.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  i:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  (fst((X  i)))
6.  mcauchy(prod-metric(k;\mlambda{}i.(snd((X  i))));n.x  n)
\mvdash{}  x  n\mdownarrow{}  as  n\mrightarrow{}\minfty{}


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  mcauchy(snd((X  i));n.x  n  i)  BY
              (Auto
                THEN  RepeatFor  2  (ParallelOp  -2)
                THEN  RepeatFor  5  (ParallelLast)
                THEN  (Assert  \mSigma{}\{mdist(snd((X  i));x  n  i;x  m  i)  |  0\mleq{}i\mleq{}k  -  1\}  \mleq{}  (r1/r(k1))  BY
                                        (RepUR  ``mdist``  -1
                                          THEN  RepUR  ``mdist``  0
                                          THEN  RepUR  ``prod-metric  mdist``  -1
                                          THEN  Trivial))
                THEN  RWO    "-1<"  0
                THEN  Auto
                THEN  Using  [`i',\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]  (BLemma  `item-rleq-rsum-of-nonneg`)\mcdot{}
                THEN  Auto))

---

Home Index