---

Step * 1 1 2 2 1 1 of Lemma proper-continuous-maps-compact

.....antecedent..... 
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. f[x] (proper)continuous for x ∈ I
4. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))} 
5. i-approx(I;n) ⊆ I 
6. mc : f[x] continuous for x ∈ i-approx(I;n)
7. inf(f[x](x∈i-approx(I;n))) = inf{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)}
8. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ f[x](x∈i-approx(I;n))) ∧ ((sup{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)} - e) < x))))
9. m : ℕ+
10. r(-m) ≤ inf{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)}
11. sup{f[x]|x ∈ i-approx(I;n)} ≤ r(m)
12. x : {x:ℝ| x ∈ i-approx(I;n)} 
13. r(-m) ≤ f[x]
⊢ f[x] ∈ f[x](x∈i-approx(I;n))
BY
{ (RepUR ``rset-member rrange`` 0 THEN With ⌜x⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  f[x]  (proper)continuous  for  x  \mmember{}  I
4.  n  :  \{n:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;n))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;n))\} 
5.  i-approx(I;n)  \msubseteq{}  I 
6.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  i-approx(I;n)
7.  inf(f[x](x\mmember{}i-approx(I;n)))  =  inf\{f[x]|x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}
8.  \mforall{}e:\mBbbR{}
          ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  f[x](x\mmember{}i-approx(I;n)))  \mwedge{}  ((sup\{f[x]|x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}  -  e)  <  x))))
9.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  r(-m)  \mleq{}  inf\{f[x]|x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}
11.  sup\{f[x]|x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}  \mleq{}  r(m)
12.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;n)\} 
13.  r(-m)  \mleq{}  f[x]
\mvdash{}  f[x]  \mmember{}  f[x](x\mmember{}i-approx(I;n))


By

---

Latex:
(RepUR  ``rset-member  rrange``  0  THEN  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index