---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma pseudo-positive-is-positive-proof2


1. ∀a:ℕ*. ((∀c:ℕ*. ((¬¬(∃n:ℕ. (¬((a n) = (c n) ∈ ℤ)))) ∨ (¬¬(∃n:ℕ. (¬(0 = (c n) ∈ ℤ)))))) ⇒ (∃n:ℕ. 0 < a n))
2. x : ℝ
3. pseudo-positive(x)
4. d : ∀n:ℕ. ((|x| < (r1)/2^n) ∨ ((r1)/2^(n + 1) < |x|))
5. c : ℕ*
6. if (∀i∈upto(n).(nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) i =z c i))_b then x else r0 fi ↓ as n→∞
⇒ cauchy(n.if (∀i∈upto(n).(nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) i =z c i))_b then x else r0 fi )
7. k : ℕ+
8. v : ℕ*
9. nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) = v ∈ ℕ*
⊢ ∀n,m:ℕ.
    ((k ≤ n)
    ⇒ (k ≤ m)
    ⇒ (|if (∀i∈upto(n).(v i =z c i))_b then x else r0 fi  - if (∀i∈upto(m).(v i =z c i))_b
       then x
       else r0
       fi | ≤ (r1/r(k))))
BY
{ Auto }

1
1. ∀a:ℕ*. ((∀c:ℕ*. ((¬¬(∃n:ℕ. (¬((a n) = (c n) ∈ ℤ)))) ∨ (¬¬(∃n:ℕ. (¬(0 = (c n) ∈ ℤ)))))) ⇒ (∃n:ℕ. 0 < a n))
2. x : ℝ
3. pseudo-positive(x)
4. d : ∀n:ℕ. ((|x| < (r1)/2^n) ∨ ((r1)/2^(n + 1) < |x|))
5. c : ℕ*
6. if (∀i∈upto(n).(nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) i =z c i))_b then x else r0 fi ↓ as n→∞
⇒ cauchy(n.if (∀i∈upto(n).(nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) i =z c i))_b then x else r0 fi )
7. k : ℕ+
8. v : ℕ*
9. nat-star-retract(λn.if isl(d n) then 0 else 1 fi ) = v ∈ ℕ*
10. n : ℕ
11. m : ℕ
12. k ≤ n
13. k ≤ m
⊢ |if (∀i∈upto(n).(v i =z c i))_b then x else r0 fi  - if (∀i∈upto(m).(v i =z c i))_b then x else r0 fi | ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}a:\mBbbN{}*
          ((\mforall{}c:\mBbbN{}*.  ((\mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}((a  n)  =  (c  n)))))  \mvee{}  (\mneg{}\mneg{}(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}(0  =  (c  n)))))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  0  <  a  n))
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  pseudo-positive(x)
4.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((|x|  <  (r1)/2\^{}n)  \mvee{}  ((r1)/2\^{}(n  +  1)  <  |x|))
5.  c  :  \mBbbN{}*
6.  if  (\mforall{}i\mmember{}upto(n).(nat-star-retract(\mlambda{}n.if  isl(d  n)  then  0  else  1  fi  )  i  =\msubz{}  c  i))\_b
then  x
else  r0
fi  \mdownarrow{}  as  n\mrightarrow{}\minfty{}
{}\mRightarrow{}  cauchy(n.if  (\mforall{}i\mmember{}upto(n).(nat-star-retract(\mlambda{}n.if  isl(d  n)  then  0  else  1  fi  )  i  =\msubz{}  c  i))\_b
      then  x
      else  r0
      fi  )
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  v  :  \mBbbN{}*
9.  nat-star-retract(\mlambda{}n.if  isl(d  n)  then  0  else  1  fi  )  =  v
\mvdash{}  \mforall{}n,m:\mBbbN{}.
        ((k  \mleq{}  n)
        {}\mRightarrow{}  (k  \mleq{}  m)
        {}\mRightarrow{}  (|if  (\mforall{}i\mmember{}upto(n).(v  i  =\msubz{}  c  i))\_b  then  x  else  r0  fi    -  if  (\mforall{}i\mmember{}upto(m).(v  i  =\msubz{}  c  i))\_b
              then  x
              else  r0
              fi  |  \mleq{}  (r1/r(k))))


By

---

Latex:
Auto

---

Home Index