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Step * 2 of Lemma punctured-ball-boundary-retraction


1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
⊢ Retract({x:ℝ^n| x ≠ p}  ⟶ {x:ℝ^n| ||x|| = r1} )
BY
{ ((InstLemma `real-vec-norm-1-exists` [⌜n⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (Assert ∀q:{x:ℝ^n| x ≠ p} 
                  ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅q - p) * r(2) * p⋅q - p) - r(4) * ||q - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
                  ∧ (r0 < ||q - p||^2)
                  ∧ (||p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p|| = r1)) BY
               (Intro
                THEN (InstLemma `rv-line-circle-lemma` [⌜n⌝;⌜r1⌝;⌜p⌝;⌜q⌝]⋅
                      THENA (Auto THEN (D -1 THEN Unhide) THEN EAuto 1)
                      )
                THEN RepUR ``let`` -1
                THEN Auto
                THEN DVar `q'
                THEN Unhide
                THEN EAuto 1))) }

1
1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. b : ℝ^n
6. ||b|| = r1
7. ∀q:{x:ℝ^n| x ≠ p} 
     ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅q - p) * r(2) * p⋅q - p) - r(4) * ||q - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
     ∧ (r0 < ||q - p||^2)
     ∧ (||p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p|| = r1))
⊢ Retract({x:ℝ^n| x ≠ p}  ⟶ {x:ℝ^n| ||x|| = r1} )

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Latex:

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Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  ||p||  <  r1
4.  \mneg{}(n  =  0)
\mvdash{}  Retract(\{x:\mBbbR{}\^{}n|  x  \mneq{}  p\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}\^{}n|  ||x||  =  r1\}  )


By

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Latex:
((InstLemma  `real-vec-norm-1-exists`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (Assert  \mforall{}q:\{x:\mBbbR{}\^{}n|  x  \mneq{}  p\} 
                                ((r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p)  *  r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p)  -  r(4)
                                  *  ||q  -  p||\^{}2
                                  *  (||p||\^{}2  -  r1\^{}2)))
                                \mwedge{}  (r0  <  ||q  -  p||\^{}2)
                                \mwedge{}  (||p  +  quadratic1(||q  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)*q  -  p||  =  r1))  BY
                          (Intro
                            THEN  (InstLemma  `rv-line-circle-lemma`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}q\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                        THENA  (Auto  THEN  (D  -1  THEN  Unhide)  THEN  EAuto  1)
                                        )
                            THEN  RepUR  ``let``  -1
                            THEN  Auto
                            THEN  DVar  `q'
                            THEN  Unhide
                            THEN  EAuto  1)))

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