---

Step * 2 1 of Lemma punctured-ball-boundary-retraction


1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. b : ℝ^n
6. ||b|| = r1
7. ∀q:{x:ℝ^n| x ≠ p} 
     ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅q - p) * r(2) * p⋅q - p) - r(4) * ||q - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
     ∧ (r0 < ||q - p||^2)
     ∧ (||p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p|| = r1))
⊢ Retract({x:ℝ^n| x ≠ p}  ⟶ {x:ℝ^n| ||x|| = r1} )
BY
{ ((Assert ∀x:{x:ℝ^n| ||x|| = r1} . x ≠ p BY
          (Auto
           THEN BLemma `length-rneq-real-vec-sep`
           THEN Auto
           THEN (OrLeft THEN Auto)
           THEN DVar `x'
           THEN Unhide
           THEN Auto))
   THEN (D 0 With ⌜λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p⌝ 
         THENW (Try (((FunExt THENW Auto) THEN D -3 With ⌜x⌝  THEN Reduce 0)) THEN Auto THEN Reduce 0)
         )
   THEN Auto) }

1
1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. b : ℝ^n
6. ||b|| = r1
7. ∀q:{x:ℝ^n| x ≠ p} 
     ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅q - p) * r(2) * p⋅q - p) - r(4) * ||q - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
     ∧ (r0 < ||q - p||^2)
     ∧ (||p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p|| = r1))
8. ∀x:{x:ℝ^n| ||x|| = r1} . x ≠ p
⊢ λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p:FUN({x:ℝ^n| x ≠ p} ;{x:ℝ^n| ||x|| = r1} )

2
1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. b : ℝ^n
6. ||b|| = r1
7. ∀q:{x:ℝ^n| x ≠ p} 
     ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅q - p) * r(2) * p⋅q - p) - r(4) * ||q - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
     ∧ (r0 < ||q - p||^2)
     ∧ (||p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p|| = r1))
8. ∀x:{x:ℝ^n| ||x|| = r1} . x ≠ p
9. λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p:FUN({x:ℝ^n| x ≠ p} ;{x:ℝ^n| ||x|| = r1} )
10. a : {x:ℝ^n| ||x|| = r1} 
⊢ (λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p) a ≡ a

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  ||p||  <  r1
4.  \mneg{}(n  =  0)
5.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  ||b||  =  r1
7.  \mforall{}q:\{x:\mBbbR{}\^{}n|  x  \mneq{}  p\} 
          ((r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p)  *  r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p)  -  r(4)  *  ||q  -  p||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r1\^{}2)))
          \mwedge{}  (r0  <  ||q  -  p||\^{}2)
          \mwedge{}  (||p  +  quadratic1(||q  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)*q  -  p||  =  r1))
\mvdash{}  Retract(\{x:\mBbbR{}\^{}n|  x  \mneq{}  p\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}\^{}n|  ||x||  =  r1\}  )


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}\^{}n|  ||x||  =  r1\}  .  x  \mneq{}  p  BY
                (Auto
                  THEN  BLemma  `length-rneq-real-vec-sep`
                  THEN  Auto
                  THEN  (OrLeft  THEN  Auto)
                  THEN  DVar  `x'
                  THEN  Unhide
                  THEN  Auto))
  THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}q.p  +  quadratic1(||q  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)*q  -  p\mkleeneclose{} 
              THENW  (Try  (((FunExt  THENW  Auto)  THEN  D  -3  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}    THEN  Reduce  0))  THEN  Auto  THEN  Reduce  0)
              )
  THEN  Auto)

---

Home Index