---

Step * 2 1 2 of Lemma punctured-ball-boundary-retraction


1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. b : ℝ^n
6. ||b|| = r1
7. ∀q:{x:ℝ^n| x ≠ p} 
     ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅q - p) * r(2) * p⋅q - p) - r(4) * ||q - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
     ∧ (r0 < ||q - p||^2)
     ∧ (||p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p|| = r1))
8. ∀x:{x:ℝ^n| ||x|| = r1} . x ≠ p
9. λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p:FUN({x:ℝ^n| x ≠ p} ;{x:ℝ^n| ||x|| = r1} )
10. a : {x:ℝ^n| ||x|| = r1} 
⊢ (λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p) a ≡ a
BY
{ (D -1
   THEN (Assert ||a|| = r1 BY
               Auto)
   THEN Thin (-2)
   THEN (Assert ||a - p||^2 ≠ r0 BY
               (D -4 With ⌜a⌝  THEN Auto THEN OrRight THEN EAuto 1))
   THEN (RWO "rn-metric-meq" 0 THENA Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. b : ℝ^n
6. ||b|| = r1
7. ∀q:{x:ℝ^n| x ≠ p} 
     ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅q - p) * r(2) * p⋅q - p) - r(4) * ||q - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
     ∧ (r0 < ||q - p||^2)
     ∧ (||p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p|| = r1))
8. ∀x:{x:ℝ^n| ||x|| = r1} . x ≠ p
9. λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p:FUN({x:ℝ^n| x ≠ p} ;{x:ℝ^n| ||x|| = r1} )
10. a : ℝ^n
11. ||a|| = r1
12. ||a - p||^2 ≠ r0
⊢ req-vec(n;(λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p) a;a)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  ||p||  <  r1
4.  \mneg{}(n  =  0)
5.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  ||b||  =  r1
7.  \mforall{}q:\{x:\mBbbR{}\^{}n|  x  \mneq{}  p\} 
          ((r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p)  *  r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p)  -  r(4)  *  ||q  -  p||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r1\^{}2)))
          \mwedge{}  (r0  <  ||q  -  p||\^{}2)
          \mwedge{}  (||p  +  quadratic1(||q  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)*q  -  p||  =  r1))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}\^{}n|  ||x||  =  r1\}  .  x  \mneq{}  p
9.  \mlambda{}q.p  +  quadratic1(||q  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)*q  -  p:FUN(\{x:\mBbbR{}\^{}n|  x  \mneq{}  p\}  ;\{x:\mBbbR{}\^{}n|  ||\000Cx||  =  r1\}  )
10.  a  :  \{x:\mBbbR{}\^{}n|  ||x||  =  r1\} 
\mvdash{}  (\mlambda{}q.p  +  quadratic1(||q  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)*q  -  p)  a  \mequiv{}  a


By

---

Latex:
(D  -1
  THEN  (Assert  ||a||  =  r1  BY
                          Auto)
  THEN  Thin  (-2)
  THEN  (Assert  ||a  -  p||\^{}2  \mneq{}  r0  BY
                          (D  -4  With  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}    THEN  Auto  THEN  OrRight  THEN  EAuto  1))
  THEN  (RWO  "rn-metric-meq"  0  THENA  Auto))

---

Home Index