---

Step * 2 1 2 1 of Lemma punctured-ball-boundary-retraction


1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. b : ℝ^n
6. ||b|| = r1
7. ∀q:{x:ℝ^n| x ≠ p} 
     ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅q - p) * r(2) * p⋅q - p) - r(4) * ||q - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
     ∧ (r0 < ||q - p||^2)
     ∧ (||p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p|| = r1))
8. ∀x:{x:ℝ^n| ||x|| = r1} . x ≠ p
9. λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p:FUN({x:ℝ^n| x ≠ p} ;{x:ℝ^n| ||x|| = r1} )
10. a : ℝ^n
11. ||a|| = r1
12. ||a - p||^2 ≠ r0
⊢ req-vec(n;(λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p) a;a)
BY
{ Assert ⌜quadratic1(||a - p||^2;r(2) * p⋅a - p;||p||^2 - r1^2) = r1⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. b : ℝ^n
6. ||b|| = r1
7. ∀q:{x:ℝ^n| x ≠ p} 
     ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅q - p) * r(2) * p⋅q - p) - r(4) * ||q - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
     ∧ (r0 < ||q - p||^2)
     ∧ (||p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p|| = r1))
8. ∀x:{x:ℝ^n| ||x|| = r1} . x ≠ p
9. λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p:FUN({x:ℝ^n| x ≠ p} ;{x:ℝ^n| ||x|| = r1} )
10. a : ℝ^n
11. ||a|| = r1
12. ||a - p||^2 ≠ r0
⊢ quadratic1(||a - p||^2;r(2) * p⋅a - p;||p||^2 - r1^2) = r1

2
1. n : ℕ
2. p : ℝ^n
3. ||p|| < r1
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. b : ℝ^n
6. ||b|| = r1
7. ∀q:{x:ℝ^n| x ≠ p} 
     ((r0 ≤ (((r(2) * p⋅q - p) * r(2) * p⋅q - p) - r(4) * ||q - p||^2 * (||p||^2 - r1^2)))
     ∧ (r0 < ||q - p||^2)
     ∧ (||p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p|| = r1))
8. ∀x:{x:ℝ^n| ||x|| = r1} . x ≠ p
9. λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p:FUN({x:ℝ^n| x ≠ p} ;{x:ℝ^n| ||x|| = r1} )
10. a : ℝ^n
11. ||a|| = r1
12. ||a - p||^2 ≠ r0
13. quadratic1(||a - p||^2;r(2) * p⋅a - p;||p||^2 - r1^2) = r1
⊢ req-vec(n;(λq.p + quadratic1(||q - p||^2;r(2) * p⋅q - p;||p||^2 - r1^2)*q - p) a;a)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  ||p||  <  r1
4.  \mneg{}(n  =  0)
5.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  ||b||  =  r1
7.  \mforall{}q:\{x:\mBbbR{}\^{}n|  x  \mneq{}  p\} 
          ((r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p)  *  r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p)  -  r(4)  *  ||q  -  p||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r1\^{}2)))
          \mwedge{}  (r0  <  ||q  -  p||\^{}2)
          \mwedge{}  (||p  +  quadratic1(||q  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)*q  -  p||  =  r1))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}\^{}n|  ||x||  =  r1\}  .  x  \mneq{}  p
9.  \mlambda{}q.p  +  quadratic1(||q  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)*q  -  p:FUN(\{x:\mBbbR{}\^{}n|  x  \mneq{}  p\}  ;\{x:\mBbbR{}\^{}n|  ||\000Cx||  =  r1\}  )
10.  a  :  \mBbbR{}\^{}n
11.  ||a||  =  r1
12.  ||a  -  p||\^{}2  \mneq{}  r0
\mvdash{}  req-vec(n;(\mlambda{}q.p  +  quadratic1(||q  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}q  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)*q  -  p)  a;a)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}quadratic1(||a  -  p||\^{}2;r(2)  *  p\mcdot{}a  -  p;||p||\^{}2  -  r1\^{}2)  =  r1\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index