---

Step * 1 1 1 1 of Lemma range_sup-bound


1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. f : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. s : ℝ
5. sup{f[x] | x ∈ I} = s ∈ ℝ
6. f[x](x∈I) ≤ s
7. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ f[x](x∈I)) ∧ ((s - e) < x))))
8. c : ℝ
9. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (f[x] ≤ c))
10. e : {e:ℝ| r0 < e} 
11. x : ℝ
12. x@0 : ℝ
13. x@0 ∈ I
14. f[x@0] = x
15. (s - e) < x
⊢ s ≤ (c + e)
BY
{ (Assert x ≤ c BY
         (RWO "-2<" 0 THEN Auto)) }

1
1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. f : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. s : ℝ
5. sup{f[x] | x ∈ I} = s ∈ ℝ
6. f[x](x∈I) ≤ s
7. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ f[x](x∈I)) ∧ ((s - e) < x))))
8. c : ℝ
9. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (f[x] ≤ c))
10. e : {e:ℝ| r0 < e} 
11. x : ℝ
12. x@0 : ℝ
13. x@0 ∈ I
14. f[x@0] = x
15. (s - e) < x
16. x ≤ c
⊢ s ≤ (c + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  \{I:Interval|  icompact(I)\} 
2.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
4.  s  :  \mBbbR{}
5.  sup\{f[x]  |  x  \mmember{}  I\}  =  s
6.  f[x](x\mmember{}I)  \mleq{}  s
7.  \mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  f[x](x\mmember{}I))  \mwedge{}  ((s  -  e)  <  x))))
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mleq{}  c))
10.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
11.  x  :  \mBbbR{}
12.  x@0  :  \mBbbR{}
13.  x@0  \mmember{}  I
14.  f[x@0]  =  x
15.  (s  -  e)  <  x
\mvdash{}  s  \mleq{}  (c  +  e)


By

---

Latex:
(Assert  x  \mleq{}  c  BY
              (RWO  "-2<"  0  THEN  Auto))

---

Home Index