---

Step * 2 of Lemma ratio-test-corollary


1. x : ℕ ⟶ ℝ@i
2. ∀N:ℕ
     ((∀c:{c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} . ((∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))) ⇒ Σn.x[n]↓))
     ∧ (∀c:{c:ℝ| r1 < c} . ((∀n:{N...}. ((c * |x[n]|) < |x[n + 1]|)) ⇒ Σn.x[n]↑)))
3. ∀n:ℕ. x[n] ≠ r0
4. L : ℝ@i
5. lim n→∞.|(x[n + 1]/x[n])| = L
6. (L < r1) ⇒ Σn.x[n]↓
7. r1 < L
⊢ Σn.x[n]↑
BY
{ ((InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜L - r1⌝]⋅ THENA (Auto THEN MemTypeCD THEN Auto THEN nRAdd ⌜r1⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN ExRepD
   ) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ@i
2. ∀N:ℕ
     ((∀c:{c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} . ((∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))) ⇒ Σn.x[n]↓))
     ∧ (∀c:{c:ℝ| r1 < c} . ((∀n:{N...}. ((c * |x[n]|) < |x[n + 1]|)) ⇒ Σn.x[n]↑)))
3. ∀n:ℕ. x[n] ≠ r0
4. L : ℝ@i
5. lim n→∞.|(x[n + 1]/x[n])| = L
6. (L < r1) ⇒ Σn.x[n]↓
7. r1 < L
8. k : ℕ+
9. (r1/r(k)) < (L - r1)
⊢ Σn.x[n]↑

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}@i
2.  \mforall{}N:\mBbbN{}
          ((\mforall{}c:\{c:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)\}  .  ((\mforall{}n:\{N...\}.  (|x[n  +  1]|  \mleq{}  (c  *  |x[n]|)))  {}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}))
          \mwedge{}  (\mforall{}c:\{c:\mBbbR{}|  r1  <  c\}  .  ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((c  *  |x[n]|)  <  |x[n  +  1]|))  {}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\muparrow{})))
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  x[n]  \mneq{}  r0
4.  L  :  \mBbbR{}@i
5.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.|(x[n  +  1]/x[n])|  =  L
6.  (L  <  r1)  {}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}
7.  r1  <  L
\mvdash{}  \mSigma{}n.x[n]\muparrow{}


By

---

Latex:
((InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}L  -  r1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  (Auto  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)
    )
  THEN  ExRepD
  )

---

Home Index