---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma real-path-comp-exists


1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. g : [r0, r1] ⟶ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. f(r1) = g(r0)
6. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (rmin(t;(r1/r(2))) = t)
7. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (r(2) * t ∈ [r0, r1])
8. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) = f(r(2) * t))
9. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (rmax(t;(r1/r(2))) = t)
10. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . ((r(2) * t) - r1 ∈ [r0, r1])
11. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) = g((r(2) * t) - r1))
12. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) ∈ ℝ)
13. t : {x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} 
14. f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) ∈ ℝ
15. g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) ∈ ℝ
⊢ ∀n:ℕ+
    ∃m:ℕ+
     ((|t - (r1/r(2))| ≤ (r1/r(m))) ⇒ (|f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) - g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1)| ≤ (r1/r(n))))
BY
{ Assert ⌜∀F:[r0, r1] ⟶ℝ
            ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (F(x) = F(y))))
            ⇒ (F((r1/r(2))) = r0)
            ⇒ (∀n:ℕ+. ∃m:ℕ+. ((|t - (r1/r(2))| ≤ (r1/r(m))) ⇒ (|F(t)| ≤ (r1/r(n))))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. g : [r0, r1] ⟶ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. f(r1) = g(r0)
6. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (rmin(t;(r1/r(2))) = t)
7. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (r(2) * t ∈ [r0, r1])
8. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) = f(r(2) * t))
9. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (rmax(t;(r1/r(2))) = t)
10. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . ((r(2) * t) - r1 ∈ [r0, r1])
11. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) = g((r(2) * t) - r1))
12. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) ∈ ℝ)
13. t : {x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} 
14. f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) ∈ ℝ
15. g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) ∈ ℝ
⊢ ∀F:[r0, r1] ⟶ℝ
    ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (F(x) = F(y))))
    ⇒ (F((r1/r(2))) = r0)
    ⇒ (∀n:ℕ+. ∃m:ℕ+. ((|t - (r1/r(2))| ≤ (r1/r(m))) ⇒ (|F(t)| ≤ (r1/r(n))))))

2
1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. g : [r0, r1] ⟶ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. f(r1) = g(r0)
6. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (rmin(t;(r1/r(2))) = t)
7. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (r(2) * t ∈ [r0, r1])
8. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) = f(r(2) * t))
9. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (rmax(t;(r1/r(2))) = t)
10. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . ((r(2) * t) - r1 ∈ [r0, r1])
11. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) = g((r(2) * t) - r1))
12. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) ∈ ℝ)
13. t : {x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} 
14. f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) ∈ ℝ
15. g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) ∈ ℝ
16. ∀F:[r0, r1] ⟶ℝ
      ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (F(x) = F(y))))
      ⇒ (F((r1/r(2))) = r0)
      ⇒ (∀n:ℕ+. ∃m:ℕ+. ((|t - (r1/r(2))| ≤ (r1/r(m))) ⇒ (|F(t)| ≤ (r1/r(n))))))
⊢ ∀n:ℕ+
    ∃m:ℕ+
     ((|t - (r1/r(2))| ≤ (r1/r(m))) ⇒ (|f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) - g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1)| ≤ (r1/r(n))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  [r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
2.  g  :  [r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
4.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g(x)  =  g(y)))
5.  f(r1)  =  g(r0)
6.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  (rmin(t;(r1/r(2)))  =  t)
7.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  (r(2)  *  t  \mmember{}  [r0,  r1])
8.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  (f(r(2)  *  rmin(t;(r1/r(2))))  =  f(r(2)  *  t))
9.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  (rmax(t;(r1/r(2)))  =  t)
10.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  ((r(2)  *  t)  -  r1  \mmember{}  [r0,  r1])
11.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  (g((r(2)  *  rmax(t;(r1/r(2))))  -  r1)  =  g((r(2)  *  t)  -  r1))
12.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .  (f(r(2)  *  rmin(t;(r1/r(2))))  \mmember{}  \mBbbR{})
13.  t  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\} 
14.  f(r(2)  *  rmin(t;(r1/r(2))))  \mmember{}  \mBbbR{}
15.  g((r(2)  *  rmax(t;(r1/r(2))))  -  r1)  \mmember{}  \mBbbR{}
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
        \mexists{}m:\mBbbN{}\msupplus{}
          ((|t  -  (r1/r(2))|  \mleq{}  (r1/r(m)))
          {}\mRightarrow{}  (|f(r(2)  *  rmin(t;(r1/r(2))))  -  g((r(2)  *  rmax(t;(r1/r(2))))  -  r1)|  \mleq{}  (r1/r(n))))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}F:[r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
                    ((\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F(x)  =  F(y))))
                    {}\mRightarrow{}  (F((r1/r(2)))  =  r0)
                    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((|t  -  (r1/r(2))|  \mleq{}  (r1/r(m)))  {}\mRightarrow{}  (|F(t)|  \mleq{}  (r1/r(n))))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index