---

Step * 1 1 1 of Lemma real-subset-connected


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. SqStable(X x)
3. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  ((X y) ⇒ (X x))
4. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
5. ∀Q:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹. ∃Q':ℝ ⟶ 𝔹. ∀x:{x:ℝ| X x} . Q' x = Q x
6. [A] : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
7. [B] : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
8. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (A[y] ⇒ A[x])
9. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (B[y] ⇒ B[x])
10. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
11. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
12. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ⇒ A[x])
13. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(b x)) ⇒ B[x])
14. x2 : {x:ℝ| X x} 
15. ↑(a x2)
16. x1 : {x:ℝ| X x} 
17. ↑(b x1)
18. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
19. f : ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
20. g : ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
21. x : ℝ
22. ∀n:ℕ. (↑(a (f n)))
23. ∀n:ℕ. (↑(b (g n)))
24. lim n→∞.f n = x
25. lim n→∞.g n = x
⊢ ∃r:{x:ℝ| X x} . (A[r] ∧ B[r])
BY
{ ((InstHyp [⌜a⌝] 5⋅ THENA Auto)
   THEN (InstHyp [⌜b⌝] 5⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN RenameVar `aa' (-4)
   THEN RenameVar `bb' (-2)) }

1
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀x:ℝ. SqStable(X x)
3. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  ((X y) ⇒ (X x))
4. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
5. ∀Q:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹. ∃Q':ℝ ⟶ 𝔹. ∀x:{x:ℝ| X x} . Q' x = Q x
6. [A] : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
7. [B] : {x:ℝ| X x}  ⟶ ℙ
8. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (A[y] ⇒ A[x])
9. ∀x:{x:ℝ| X x} . ∀y:{y:{x:ℝ| X x} | x = y} .  (B[y] ⇒ B[x])
10. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
11. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
12. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ⇒ A[x])
13. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(b x)) ⇒ B[x])
14. x2 : {x:ℝ| X x} 
15. ↑(a x2)
16. x1 : {x:ℝ| X x} 
17. ↑(b x1)
18. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
19. f : ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
20. g : ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
21. x : ℝ
22. ∀n:ℕ. (↑(a (f n)))
23. ∀n:ℕ. (↑(b (g n)))
24. lim n→∞.f n = x
25. lim n→∞.g n = x
26. aa : ℝ ⟶ 𝔹
27. ∀x:{x:ℝ| X x} . aa x = a x
28. bb : ℝ ⟶ 𝔹
29. ∀x:{x:ℝ| X x} . bb x = b x
⊢ ∃r:{x:ℝ| X x} . (A[r] ∧ B[r])

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  SqStable(X  x)
3.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}y:\{y:\mBbbR{}|  x  =  y\}  .    ((X  y)  {}\mRightarrow{}  (X  x))
4.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
5.  \mforall{}Q:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}Q':\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  Q'  x  =  Q  x
6.  [A]  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  [B]  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  |  x  =  y\}  .    (A[y]  {}\mRightarrow{}  A[x])
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  |  x  =  y\}  .    (B[y]  {}\mRightarrow{}  B[x])
10.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
11.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
12.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  {}\mRightarrow{}  A[x])
13.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(b  x))  {}\mRightarrow{}  B[x])
14.  x2  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
15.  \muparrow{}(a  x2)
16.  x1  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
17.  \muparrow{}(b  x1)
18.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
19.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
20.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
21.  x  :  \mBbbR{}
22.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(a  (f  n)))
23.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(b  (g  n)))
24.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f  n  =  x
25.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.g  n  =  x
\mvdash{}  \mexists{}r:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  (A[r]  \mwedge{}  B[r])


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  5\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]  5\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  RenameVar  `aa'  (-4)
  THEN  RenameVar  `bb'  (-2))

---

Home Index