---

Step * 2 1 1 1 of Lemma reals-connected


1. [A] : ℝ ⟶ ℙ
2. [B] : ℝ ⟶ ℙ
3. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  (A[y] ⇒ A[x])
4. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  (B[y] ⇒ B[x])
5. a : ℝ
6. A[a]
7. b : ℝ
8. B[b]
9. d : r:ℝ ⟶ (A[r] ∨ B[r])
10. (∀x:ℝ. ((↑isr(d x)) ⇒ B[x]))
⇒ (∃x:ℝ. (↑isl(d x)))
⇒ (∃x:ℝ. (↑isr(d x)))
⇒ (∀x:ℝ. ((↑isl(d x)) ∨ (↑isr(d x))))
⇒ (∃r:ℝ. (A[r] ∧ B[r]))
⊢ ∃r:ℝ. (A[r] ∧ B[r])
BY
{ (D -1
   THENA (Auto
          THEN UseWitness ⌜outr(d x)⌝⋅
          THEN Auto
          THEN MoveToConcl (-1)
          THEN (GenConclTerm ⌜d x⌝⋅ THENA Auto)
          THEN D -2
          THEN Reduce 0
          THEN Auto)
   ) }

1
1. [A] : ℝ ⟶ ℙ
2. [B] : ℝ ⟶ ℙ
3. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  (A[y] ⇒ A[x])
4. ∀x:ℝ. ∀y:{y:ℝ| x = y} .  (B[y] ⇒ B[x])
5. a : ℝ
6. A[a]
7. b : ℝ
8. B[b]
9. d : r:ℝ ⟶ (A[r] ∨ B[r])
10. (∃x:ℝ. (↑isl(d x))) ⇒ (∃x:ℝ. (↑isr(d x))) ⇒ (∀x:ℝ. ((↑isl(d x)) ∨ (↑isr(d x)))) ⇒ (∃r:ℝ. (A[r] ∧ B[r]))
⊢ ∃r:ℝ. (A[r] ∧ B[r])

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  [B]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}y:\{y:\mBbbR{}|  x  =  y\}  .    (A[y]  {}\mRightarrow{}  A[x])
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}y:\{y:\mBbbR{}|  x  =  y\}  .    (B[y]  {}\mRightarrow{}  B[x])
5.  a  :  \mBbbR{}
6.  A[a]
7.  b  :  \mBbbR{}
8.  B[b]
9.  d  :  r:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  (A[r]  \mvee{}  B[r])
10.  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((\muparrow{}isr(d  x))  {}\mRightarrow{}  B[x]))
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  (\muparrow{}isl(d  x)))
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  (\muparrow{}isr(d  x)))
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((\muparrow{}isl(d  x))  \mvee{}  (\muparrow{}isr(d  x))))
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}r:\mBbbR{}.  (A[r]  \mwedge{}  B[r]))
\mvdash{}  \mexists{}r:\mBbbR{}.  (A[r]  \mwedge{}  B[r])


By

---

Latex:
(D  -1
  THENA  (Auto
                THEN  UseWitness  \mkleeneopen{}outr(d  x)\mkleeneclose{}\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  MoveToConcl  (-1)
                THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}d  x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  D  -2
                THEN  Reduce  0
                THEN  Auto)
  )

---

Home Index