---

Step * 1 2 1 1 of Lemma reals-uncountable

.....assertion..... 
1. z : ℕ ⟶ ℝ
2. x : ℝ
3. y : ℝ
4. x < y
5. X : ℕ ⟶ ℝ
6. Y : ℕ ⟶ ℝ
7. (X 0) = x ∈ ℝ
8. (Y 0) = y ∈ ℝ
9. ∀n:ℕ
     (((X n) ≤ (X (n + 1)))
     ∧ ((X (n + 1)) < (Y (n + 1)))
     ∧ ((Y (n + 1)) ≤ (Y n))
     ∧ (((z n) < (X (n + 1))) ∨ ((Y (n + 1)) < (z n)))
     ∧ (((Y (n + 1)) - X (n + 1)) < (r1/r(n + 1))))
⊢ ∀i,j:ℕ.  ((i ≤ j) ⇒ (((X i) ≤ (X j)) ∧ ((X j) < (Y j)) ∧ ((Y j) ≤ (Y i))))
BY
{ ((D 0 THENA Auto) THEN Assert ⌜∀k:ℕ. (((X i) ≤ (X (i + k))) ∧ ((X (i + k)) < (Y (i + k))) ∧ ((Y (i + k)) ≤ (Y i)))⌝⋅)
⋅ }

1
.....assertion..... 
1. z : ℕ ⟶ ℝ
2. x : ℝ
3. y : ℝ
4. x < y
5. X : ℕ ⟶ ℝ
6. Y : ℕ ⟶ ℝ
7. (X 0) = x ∈ ℝ
8. (Y 0) = y ∈ ℝ
9. ∀n:ℕ
     (((X n) ≤ (X (n + 1)))
     ∧ ((X (n + 1)) < (Y (n + 1)))
     ∧ ((Y (n + 1)) ≤ (Y n))
     ∧ (((z n) < (X (n + 1))) ∨ ((Y (n + 1)) < (z n)))
     ∧ (((Y (n + 1)) - X (n + 1)) < (r1/r(n + 1))))
10. i : ℕ
⊢ ∀k:ℕ. (((X i) ≤ (X (i + k))) ∧ ((X (i + k)) < (Y (i + k))) ∧ ((Y (i + k)) ≤ (Y i)))

2
1. z : ℕ ⟶ ℝ
2. x : ℝ
3. y : ℝ
4. x < y
5. X : ℕ ⟶ ℝ
6. Y : ℕ ⟶ ℝ
7. (X 0) = x ∈ ℝ
8. (Y 0) = y ∈ ℝ
9. ∀n:ℕ
     (((X n) ≤ (X (n + 1)))
     ∧ ((X (n + 1)) < (Y (n + 1)))
     ∧ ((Y (n + 1)) ≤ (Y n))
     ∧ (((z n) < (X (n + 1))) ∨ ((Y (n + 1)) < (z n)))
     ∧ (((Y (n + 1)) - X (n + 1)) < (r1/r(n + 1))))
10. i : ℕ
11. ∀k:ℕ. (((X i) ≤ (X (i + k))) ∧ ((X (i + k)) < (Y (i + k))) ∧ ((Y (i + k)) ≤ (Y i)))
⊢ ∀j:ℕ. ((i ≤ j) ⇒ (((X i) ≤ (X j)) ∧ ((X j) < (Y j)) ∧ ((Y j) ≤ (Y i))))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  z  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  y  :  \mBbbR{}
4.  x  <  y
5.  X  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
6.  Y  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
7.  (X  0)  =  x
8.  (Y  0)  =  y
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}
          (((X  n)  \mleq{}  (X  (n  +  1)))
          \mwedge{}  ((X  (n  +  1))  <  (Y  (n  +  1)))
          \mwedge{}  ((Y  (n  +  1))  \mleq{}  (Y  n))
          \mwedge{}  (((z  n)  <  (X  (n  +  1)))  \mvee{}  ((Y  (n  +  1))  <  (z  n)))
          \mwedge{}  (((Y  (n  +  1))  -  X  (n  +  1))  <  (r1/r(n  +  1))))
\mvdash{}  \mforall{}i,j:\mBbbN{}.    ((i  \mleq{}  j)  {}\mRightarrow{}  (((X  i)  \mleq{}  (X  j))  \mwedge{}  ((X  j)  <  (Y  j))  \mwedge{}  ((Y  j)  \mleq{}  (Y  i))))


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}k:\mBbbN{}.  (((X  i)  \mleq{}  (X  (i  +  k)))  \mwedge{}  ((X  (i  +  k))  <  (Y  (i  +  k)))  \mwedge{}  ((Y  (i  +  k))  \mleq{}  (Y  i)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  )\mcdot{}

---

Home Index