---

Step * 1 of Lemma reg_seq_mul-regular-eventually


1. x : ℕ+ ⟶ ℤ
2. regular-seq(x)
3. y : ℕ+ ⟶ ℤ
4. regular-seq(y)
5. B : ℕ+
6. b : ℕ+
7. ∀n,m:{b...}.  ((2 * ((m * |x n|) + (n * |y m|))) ≤ ((n * m) * ((4 * B) - 1)))
8. n : {b...}
9. m : {b...}
⊢ |(2 * n * m) * ((m * (reg_seq_mul(x;y) n)) - n * (reg_seq_mul(x;y) m))| ≤ (|2 * n * m| * (2 * B) * (n + m))
BY
{ ((Subst ⌜(2 * n * m) * ((m * (reg_seq_mul(x;y) n)) - n * (reg_seq_mul(x;y) m)) ~ ((m * m)
           * (2 * n)
           * (reg_seq_mul(x;y) n)) - (n * n) * (2 * m) * (reg_seq_mul(x;y) m)⌝ 0⋅
    THENA Auto
    )
   THEN (Assert ∀n:ℕ+. (|((2 * n) * (reg_seq_mul(x;y) n)) - (x n) * (y n)| ≤ n) BY
               ((D 0 THENA Auto) THEN RepUR ``reg_seq_mul`` 0 THEN Mul ⌜2⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm ⌜reg_seq_mul(x;y)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN (Subst' |2 * n * m| ~ 2 * n * m 0 THENA Auto)) }

1
1. x : ℕ+ ⟶ ℤ
2. regular-seq(x)
3. y : ℕ+ ⟶ ℤ
4. regular-seq(y)
5. B : ℕ+
6. b : ℕ+
7. ∀n,m:{b...}.  ((2 * ((m * |x n|) + (n * |y m|))) ≤ ((n * m) * ((4 * B) - 1)))
8. n : {b...}
9. m : {b...}
10. v : ℕ+ ⟶ ℤ
11. reg_seq_mul(x;y) = v ∈ (ℕ+ ⟶ ℤ)
12. ∀n:ℕ+. (|((2 * n) * (v n)) - (x n) * (y n)| ≤ n)
⊢ |((m * m) * (2 * n) * (v n)) - (n * n) * (2 * m) * (v m)| ≤ ((2 * n * m) * (2 * B) * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
2.  regular-seq(x)
3.  y  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  regular-seq(y)
5.  B  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mforall{}n,m:\{b...\}.    ((2  *  ((m  *  |x  n|)  +  (n  *  |y  m|)))  \mleq{}  ((n  *  m)  *  ((4  *  B)  -  1)))
8.  n  :  \{b...\}
9.  m  :  \{b...\}
\mvdash{}  |(2  *  n  *  m)  *  ((m  *  (reg\_seq\_mul(x;y)  n))  -  n  *  (reg\_seq\_mul(x;y)  m))|  \mleq{}  (|2  *  n  *  m|
    *  (2  *  B)
    *  (n  +  m))


By

---

Latex:
((Subst  \mkleeneopen{}(2  *  n  *  m)  *  ((m  *  (reg\_seq\_mul(x;y)  n))  -  n  *  (reg\_seq\_mul(x;y)  m))  \msim{}  ((m  *  m)
                  *  (2  *  n)
                  *  (reg\_seq\_mul(x;y)  n))  -  (n  *  n)  *  (2  *  m)  *  (reg\_seq\_mul(x;y)  m)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
    THENA  Auto
    )
  THEN  (Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|((2  *  n)  *  (reg\_seq\_mul(x;y)  n))  -  (x  n)  *  (y  n)|  \mleq{}  n)  BY
                          ((D  0  THENA  Auto)  THEN  RepUR  ``reg\_seq\_mul``  0  THEN  Mul  \mkleeneopen{}2\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}reg\_seq\_mul(x;y)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  |2  *  n  *  m|  \msim{}  2  *  n  *  m  0  THENA  Auto))

---

Home Index