---

Step * 1 1 of Lemma reg_seq_mul-regular-eventually


1. x : ℕ+ ⟶ ℤ
2. regular-seq(x)
3. y : ℕ+ ⟶ ℤ
4. regular-seq(y)
5. B : ℕ+
6. b : ℕ+
7. ∀n,m:{b...}.  ((2 * ((m * |x n|) + (n * |y m|))) ≤ ((n * m) * ((4 * B) - 1)))
8. n : {b...}
9. m : {b...}
10. v : ℕ+ ⟶ ℤ
11. reg_seq_mul(x;y) = v ∈ (ℕ+ ⟶ ℤ)
12. ∀n:ℕ+. (|((2 * n) * (v n)) - (x n) * (y n)| ≤ n)
⊢ |((m * m) * (2 * n) * (v n)) - (n * n) * (2 * m) * (v m)| ≤ ((2 * n * m) * (2 * B) * (n + m))
BY
{ (Assert ∀m,n:ℕ+.  (|((m * m) * (2 * n) * (v n)) - (m * (x n)) * m * (y n)| ≤ ((m * m) * n)) BY
         ((D 0 THENA Auto)
          THEN ParallelOp -2
          THEN (Subst' ((m1 * m1) * (2 * n1) * (v n1)) - (m1 * (x n1)) * m1 * (y n1) ~ (m1 * m1)
                * (((2 * n1) * (v n1)) - (x n1) * (y n1)) 0
                THENA Auto
                )
          THEN (RWO "absval_mul" 0 THENA Auto)
          THEN MoveToConcl (-1)
          THEN GenConclTerm ⌜|((2 * n1) * (v n1)) - (x n1) * (y n1)|⌝⋅
          THEN Auto
          THEN (Subst' |m1 * m1| ~ m1 * m1 0 THENA Auto)
          THEN Mul ⌜m1 * m1⌝ (-1)⋅
          THEN Auto)) }

1
1. x : ℕ+ ⟶ ℤ
2. regular-seq(x)
3. y : ℕ+ ⟶ ℤ
4. regular-seq(y)
5. B : ℕ+
6. b : ℕ+
7. ∀n,m:{b...}.  ((2 * ((m * |x n|) + (n * |y m|))) ≤ ((n * m) * ((4 * B) - 1)))
8. n : {b...}
9. m : {b...}
10. v : ℕ+ ⟶ ℤ
11. reg_seq_mul(x;y) = v ∈ (ℕ+ ⟶ ℤ)
12. ∀n:ℕ+. (|((2 * n) * (v n)) - (x n) * (y n)| ≤ n)
13. ∀m,n:ℕ+.  (|((m * m) * (2 * n) * (v n)) - (m * (x n)) * m * (y n)| ≤ ((m * m) * n))
⊢ |((m * m) * (2 * n) * (v n)) - (n * n) * (2 * m) * (v m)| ≤ ((2 * n * m) * (2 * B) * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
2.  regular-seq(x)
3.  y  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
4.  regular-seq(y)
5.  B  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mforall{}n,m:\{b...\}.    ((2  *  ((m  *  |x  n|)  +  (n  *  |y  m|)))  \mleq{}  ((n  *  m)  *  ((4  *  B)  -  1)))
8.  n  :  \{b...\}
9.  m  :  \{b...\}
10.  v  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
11.  reg\_seq\_mul(x;y)  =  v
12.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|((2  *  n)  *  (v  n))  -  (x  n)  *  (y  n)|  \mleq{}  n)
\mvdash{}  |((m  *  m)  *  (2  *  n)  *  (v  n))  -  (n  *  n)  *  (2  *  m)  *  (v  m)|  \mleq{}  ((2  *  n  *  m)  *  (2  *  B)  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}m,n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|((m  *  m)  *  (2  *  n)  *  (v  n))  -  (m  *  (x  n))  *  m  *  (y  n)|  \mleq{}  ((m  *  m)  *  n))  BY
              ((D  0  THENA  Auto)
                THEN  ParallelOp  -2
                THEN  (Subst'  ((m1  *  m1)  *  (2  *  n1)  *  (v  n1))  -  (m1  *  (x  n1))  *  m1  *  (y  n1)  \msim{}  (m1  *  m1)
                            *  (((2  *  n1)  *  (v  n1))  -  (x  n1)  *  (y  n1))  0
                            THENA  Auto
                            )
                THEN  (RWO  "absval\_mul"  0  THENA  Auto)
                THEN  MoveToConcl  (-1)
                THEN  GenConclTerm  \mkleeneopen{}|((2  *  n1)  *  (v  n1))  -  (x  n1)  *  (y  n1)|\mkleeneclose{}\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  (Subst'  |m1  *  m1|  \msim{}  m1  *  m1  0  THENA  Auto)
                THEN  Mul  \mkleeneopen{}m1  *  m1\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
                THEN  Auto))

---

Home Index