---

Step * 1 of Lemma rv-circle-circle-lemma2'


1. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
2. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. b : ℝ^2
4. r0 < ||b||
5. ∀b':ℝ^2
     ((b⋅b' = r0)
     ⇒ (||b'|| = ||b||)
     ⇒ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
     ⇒ let c = ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2/r(2)) in
         let d = (||b||^2 * r1^2) - c^2 in
         ∀x:ℝ^2
           ((req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*c*b + rsqrt(d)*b') ∨ req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*c*b - rsqrt(d)*b'))
           ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2))))
⊢ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
⇒ (∃u,v:ℝ^2
     (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2))
     ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2))
     ∧ (((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ (r2-left(u;b;λi.r0) ∧ r2-left(v;λi.r0;b)))))
BY
{ Assert ⌜(b⋅λk.if (k =z 1) then -(b 0) else b 1 fi  = r0) ∧ (||λk.if (k =z 1) then -(b 0) else b 1 fi || = ||b||)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
2. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. b : ℝ^2
4. r0 < ||b||
5. ∀b':ℝ^2
     ((b⋅b' = r0)
     ⇒ (||b'|| = ||b||)
     ⇒ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
     ⇒ let c = ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2/r(2)) in
         let d = (||b||^2 * r1^2) - c^2 in
         ∀x:ℝ^2
           ((req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*c*b + rsqrt(d)*b') ∨ req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*c*b - rsqrt(d)*b'))
           ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2))))
⊢ (b⋅λk.if (k =z 1) then -(b 0) else b 1 fi  = r0) ∧ (||λk.if (k =z 1) then -(b 0) else b 1 fi || = ||b||)

2
1. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
2. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. b : ℝ^2
4. r0 < ||b||
5. ∀b':ℝ^2
     ((b⋅b' = r0)
     ⇒ (||b'|| = ||b||)
     ⇒ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
     ⇒ let c = ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2/r(2)) in
         let d = (||b||^2 * r1^2) - c^2 in
         ∀x:ℝ^2
           ((req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*c*b + rsqrt(d)*b') ∨ req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*c*b - rsqrt(d)*b'))
           ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2))))
6. (b⋅λk.if (k =z 1) then -(b 0) else b 1 fi  = r0) ∧ (||λk.if (k =z 1) then -(b 0) else b 1 fi || = ||b||)
⊢ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
⇒ (∃u,v:ℝ^2
     (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2))
     ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2))
     ∧ (((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ (r2-left(u;b;λi.r0) ∧ r2-left(v;λi.r0;b)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  r1  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
2.  r2  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}2
4.  r0  <  ||b||
5.  \mforall{}b':\mBbbR{}\^{}2
          ((b\mcdot{}b'  =  r0)
          {}\mRightarrow{}  (||b'||  =  ||b||)
          {}\mRightarrow{}  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))
          {}\mRightarrow{}  let  c  =  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2/r(2))  in
                  let  d  =  (||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  c\^{}2  in
                  \mforall{}x:\mBbbR{}\^{}2
                      ((req-vec(2;x;(r1/||b||\^{}2)*c*b  +  rsqrt(d)*b')
                      \mvee{}  req-vec(2;x;(r1/||b||\^{}2)*c*b  -  rsqrt(d)*b'))
                      {}\mRightarrow{}  ((||x||  =  r1)  \mwedge{}  (||x  -  b||  =  r2))))
\mvdash{}  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}u,v:\mBbbR{}\^{}2
          (((||u||  =  r1)  \mwedge{}  (||u  -  b||  =  r2))
          \mwedge{}  ((||v||  =  r1)  \mwedge{}  (||v  -  b||  =  r2))
          \mwedge{}  (((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  <  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))
              {}\mRightarrow{}  (r2-left(u;b;\mlambda{}i.r0)  \mwedge{}  r2-left(v;\mlambda{}i.r0;b)))))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(b\mcdot{}\mlambda{}k.if  (k  =\msubz{}  1)  then  -(b  0)  else  b  1  fi    =  r0)
                \mwedge{}  (||\mlambda{}k.if  (k  =\msubz{}  1)  then  -(b  0)  else  b  1  fi  ||  =  ||b||)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index