---

Step * 1 2 1 1 of Lemma rv-circle-circle-lemma2'


1. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
2. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. b : ℝ^2
4. r0 < ||b||
5. b' : ℝ^2
6. (λk.if (k =z 1) then -(b 0) else b 1 fi ) = b' ∈ ℝ^2
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. (r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
10. cc : ℝ
11. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
⊢ (∀x:ℝ^2
     ((req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b') ∨ req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'))
     ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2))))
⇒ (∃u,v:ℝ^2
     (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2))
     ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2))
     ∧ ((cc^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ (r2-left(u;b;λi.r0) ∧ r2-left(v;λi.r0;b)))))
BY
{ (Auto
   THEN (InstHyp [⌜(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b'⌝] (-1)⋅ THENA (Auto THEN (OrLeft THEN Auto) THEN RelRST THEN Auto))
   THEN (InstHyp [⌜(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'⌝] (-2)⋅
         THENA (Auto THEN (OrRight THEN Auto) THEN RelRST THEN Auto)
         )) }

1
1. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
2. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. b : ℝ^2
4. r0 < ||b||
5. b' : ℝ^2
6. (λk.if (k =z 1) then -(b 0) else b 1 fi ) = b' ∈ ℝ^2
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. (r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
10. cc : ℝ
11. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. ∀x:ℝ^2
      ((req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b') ∨ req-vec(2;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'))
      ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2)))
17. (||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b'|| = r1) ∧ (||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' - b|| = r2)
18. (||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'|| = r1) ∧ (||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b' - b|| = r2)
⊢ ∃u,v:ℝ^2
   (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2))
   ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2))
   ∧ ((cc^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ (r2-left(u;b;λi.r0) ∧ r2-left(v;λi.r0;b))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  r1  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
2.  r2  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}2
4.  r0  <  ||b||
5.  b'  :  \mBbbR{}\^{}2
6.  (\mlambda{}k.if  (k  =\msubz{}  1)  then  -(b  0)  else  b  1  fi  )  =  b'
7.  b\mcdot{}b'  =  r0
8.  ||b'||  =  ||b||
9.  (r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2)
10.  cc  :  \mBbbR{}
11.  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2)  =  cc
12.  r0  \mleq{}  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)
13.  r0  <  ||b||\^{}2
14.  v  :  \{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  ((r  *  r)  =  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2))\} 
15.  rsqrt((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)  =  v
\mvdash{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}\^{}2
          ((req-vec(2;x;(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b')  \mvee{}  req-vec(2;x;(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b'))
          {}\mRightarrow{}  ((||x||  =  r1)  \mwedge{}  (||x  -  b||  =  r2))))
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}u,v:\mBbbR{}\^{}2
          (((||u||  =  r1)  \mwedge{}  (||u  -  b||  =  r2))
          \mwedge{}  ((||v||  =  r1)  \mwedge{}  (||v  -  b||  =  r2))
          \mwedge{}  ((cc\^{}2  <  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))  {}\mRightarrow{}  (r2-left(u;b;\mlambda{}i.r0)  \mwedge{}  r2-left(v;\mlambda{}i.r0;b)))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b'\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  (OrLeft  THEN  Auto)  THEN  RelRST  THEN  Auto)
              )
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b'\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  (OrRight  THEN  Auto)  THEN  RelRST  THEN  Auto)
              ))

---

Home Index